随笔分类 - 难度
摘要：给定 $2m+1$ 种重量为 $w_i \in \{-m,...,m\}$ 的物品（数量 $a_i \leq 10^{12}$），要求选择最大数量的物品使其总重恰好为 $l$（$|l| \leq 10^{18}$）。解法：首先贪心地选取所有物品得到总重 $W$，通过优先丢弃大/小重量物品将 $W$ 调整至区间 $[l-m, l]$；然后对剩余差值 $d = l - W$（$|d| \leq m$）进行多重背包计算，将物品增减视为新物品（$w \in [-m, m]$, $v = \pm 1$），使用单调队列优化实现 $O(m^3)$ 复杂度。若无解则输出 $\texttt{impossible}$，否则最优解为初始数量 $S$ 加上背包计算结果。
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摘要：给定排列 $P$ 的长度 $n$ 和限制 $lim$，计算满足 $fun(P) \geq lim$ 的排列数量，其中 $fun(P)$ 表示以第一个元素为哨兵进行快速排序所需的单位时间。解法采用动态规划结合多项式插值：定义 $f_{a,b}$ 为长度为 $a$ 且 $fun(P)=b$ 的排列数，通过卷积形式优化转移后，利用拉格朗日插值在 $O(n^4)$ 时间内计算多项式系数，最后统计次数 $\geq lim$ 的项之和。核心步骤包括预处理组合数、计算点值、构造插值多项式，并使用模数 $10^9+7$ 处理大数运算。
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摘要：题目描述了一个有向图随机游走问题，给定 $n$ 个问题，每个问题有分数 $s_i$、提交花费 $c_i$ 和通过概率 $p_i$。每个问题可以多次提交，但多次通过只算一次得分。初始有 $x$ 块钱，目标是最大化期望得分。使用动态规划，状态定义为 $f_{res,i}$ 表示剩余 $res$ 元且已解决集合 $i$ 的问题时的最大期望得分。转移方程考虑了提交每个未解决问题的成功和失败情况：$f_{res,i} = \max\{f_{res,i}, p_i \cdot (f_{res-c_j,i \cup j} + s_j) + (1-p_i) \cdot f_{res-c_j,i}\}$。最终时间复杂度为 $O(2^n n x)$，$n \le 8$。
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摘要：2025 gdsy 春季训练 5 - 数论 前言 因为我数论太烂了，所以写一篇随笔总结一下。 A - Eri and Expanded Sets 计数题。刻画合法条件。 观察到对一个集合进行操作，最后的结果一定是一个等差数列。 如果不是等差数列，则集合一定可以继续进行操作。 方差为 \(1\) 或集
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摘要：题目给定 $n$（$n \le 10^5$）个带颜色（颜色 $\in \{0,1,2\}$）的点，求包含三种颜色点的最小周长矩形。题解采用偏序问题做法，点关系有两种偏序：一是 $x_0 < x_1 < x_2 \land y_1 < y_2 < y_0$；二是 $x_0 \le x_1 \le x_2 \land y_0 \le y_1 \le y_2$。第二种拆成两个二维偏序，扫描 $x$ 维求解，复杂度 $O(n \log n)$。第一种把两种颜色作数据、第三种作询问，扫描 $x$ 维，遇到数据修改线段树，遇到询问单点查询，线段树维护 $0$ 的最小 $-x + y$、$1$ 的最小 $-y$ 及两者最小和，保证标记时间戳顺序，复杂度也是 $O(n \log n)$。代码多次调用求解函数并处理不同变换情况。
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摘要：给定长度 $n\leq10^5$ 的序列 $\{a_i\}$（$a_i\leq10^6$），初始 $v = 1$，可至多 10^5 次乘除 $\text{lcm}\{b\}$（$\sum |b| \leq 10^6$）使 $v$ 变为 $\gcd\{a_i \times a_j\}$。思路：考虑质因数指数（10^6 内最多 7 种），操作对应指数加减。用 min - max 容斥将 $\gcd\{a_i \times a_j\}$ 转化为 $\gcd$、$\text{lcm}$ 乘除，把最小和次小指数表示为 $(\gcd\{a_i\})^2 \prod_i \frac{\gcd_{i \neq j \{a_j\}}}{\gcd\{a_j\}}$，操作数约 $2^8 + 8 \times 2^8$，复杂度 $O(n\log n + n \omega(\sqrt{a}) + \sqrt{a})$。
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摘要：题目要求根据给定的 $n$ 个点（$n\leq2000$）和表示编号在 $[i,j]$（$i \le j$）的点是否连通的 $a_{i,j}$（$a_{i,j}=\{0,1\}$）构造出一棵合法的树，且保证有解。思路上先考虑小区间再合并到大区间，对于只有 $a_{1,n}=1$ 的情况给出了一种构造方案（$n = 3$ 时无解）；一般情况则按顺序加点，利用树的连通块性质，当 $a_{i,n}=1$ 时，通过连边（$i,n$）等方式合并连通块，采用小到大枚举 $n$、从大到小枚举 $i$ 的方法，可证明其正确性，时间复杂度为 $O(n^2)$。代码实现了上述构造树的过程。
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摘要：题目中坐标轴 $1$ 到 $n$（$n\leq10^5$）有初始高度为 $0$ 的 $n$ 个房子，人在 $(0,0)$ 处，有 $m$ 次（$m\leq10^5$）修改房子高度操作，每次修改后求可见楼房数（连线不被遮挡）。思路：维护各点与 $(0,0)$ 连线斜率，可见楼房斜率严格递增且优先左边。直接暴力修改 $O(1)$、查询 $O(n)$；采用线段树，维护节点满足要求的斜率序列长度，左儿子可直接合并，右儿子按需递归合并。单点修改，被影响结点 $O(\log n)$ 个，每次合并 $O(\log n)$，修改复杂度 $O(\log^2 n)$，全局查询 $O(1)$。代码实现上述逻辑。
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摘要：有 $n$ 个长 $a_i$（$n,a_i\leq10^5$）的随机字符串，$f(s)$ 是 $s$ 最小循环移位起始位置（多解取最小），求两循环序列 $\{f(s_i)\}$ 期望相同位置数。思路：算相邻 $f$ 相同概率求和，定义 $h_a$ 求 $g(f(a)=x)$，归并因数更新求解，预处理因数与 $h$，复杂度 $O((n + q)因数个数 + n\sqrt{n})$，代码实现计算。
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摘要：题目给定长度为 $n$ 的序列，有 $q$ 次询问，每次询问区间 $[l,r]$ 的最短子区间 $[l',r']$，使 $[l,r]$ 中出现的数都在 $[l',r']$ 中出现，需输出 $[l',r']$ 的长度，$1\leq n,q\leq 2\times 10^6$，$1\leq a_i\leq n$。解题思路上，先有 $O(n^2)$ 的双指针暴力法。题解采用扫描右端点 $p$ 的方法，用数据结构维护右端点为 $p$ 时每个下标 $k$ 代表后缀的最小合法前缀 $f_k$，找出 $a_p$ 上一次出现位置 $la_p$，将询问的 $l$ 落在 $(la_p,p]$ 区间的 $f$ 对 $p$ 取 $\max$，使用并查集让 $la_p$ 指向 $la_p +1$ 以找到最大合法数据左端点 $d$。还可将问题类比二维偏序问题，转化为维护每个后缀点对权值来求解，因数据点权值维护需按顺序，所以按第二维一定顺序扫描。代码中用 zkw 线段树处理，添加了快读以优化。
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摘要：题意为统计字符串中满足以下条件的子串：一是子串为偶数长度回文，二是子串由多个偶数回文拼接而成。解法核心在于：利用唯一分解性，即每个合法子串可唯一拆分为极短偶回文组合（如 `abba|abba`）；通过预处理，用Manacher算法找到每个起点最短的偶回文；采用DP计数，设 \(dp[i]\) 表示以位置 \(i\) 起始的满足条件的子串数量，\(f_i\) 为从位置 \(i\) 开始的极短回文长度，通过公式 \(dp[i] = 1 + dp[i + f_i]\) 计算，总时间复杂度为 \(O(n)\) 。
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摘要：给定含 $n$ 点 $m$ 边的 DAG 与常数 $k$，定义 $f(l,r)$ 求满足条件的区间数。先处理弱化问题判断不相交路径，预处理矩阵。原问题借枚举终点集合求矩阵秩确定路径数，用时间戳线性基支持操作。利用单调性分段，时间复杂度 $O(nnk^2 + mk)$，瓶颈是线性基插入与矩阵预处理 。
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