UVALive - 5097 Cross the Wall 斜率DP

Cross the Wall UVALive - 5097
$N$ 个人，每个人有自己的宽高 $w_i,h_i$ ，最多可以挖 $K$ 个洞，并且不能重叠。挖一个宽高分别为 $w,h$ 的洞需要花费 $w\times h$ 元。当人的宽高 $w_i\le w,h_i\le h$ 时，这个人才能通过这个洞。问至少要花费多少钱才能使所有人都从洞口通过。

首先按照宽高从大到小进行排序，首先按宽，宽相等时再按高来排序。假如存在 $w_1\le w_2$ 并且 $h_1\le h_2$ ，那么就去掉 $(w_1,h_1)$ 这个点，因为后一个点能过去的话，这个点也一定能过去。这样排序去重之后，对于宽是单调递减的，而对于高是单调递增的（想一想，为什么），因为假如后面的高小于前面的话，由于宽递减，那么这个点会被剔除；假如宽相等，那么后面的高小于等于前面的高，因此这个点也会被剔除。

状态转移方程为：

$dp[i][j]=\min\{dp[k][j-1]+w[k+1]\times h[i]\}$

其中 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个人从 $j$ 个洞钻过去的最小花费，中间枚举 $k$ ，即前 $k$ 个人钻 $j-1$ 个洞，第 $k+1$ 到第 $i$ 个人钻一个洞，能够让这部分所有人都钻过去的洞的大小是 $w[k+1]\times h[i]$（因为高是递增的，所以第 $i$ 个高为最大的高）。

设 $k_1< k_2$ ，若 $k_2$ 优于 $k_1$ ，则：

$\begin{aligned} dp[k_2][j-1]+w[k_2+1]h[i]&<dp[k_1][j-1]+w[k_1+1]h[i]\\ \dfrac{dp[k_2][j-1]-dp[k_1][j-1]}{w[k_1+1]-w[k_2+1]}&<h[i] \end{aligned}$

这样就得到了常规的斜率优化的式子。
代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
//#define WINE
#define MAXN 50010
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,k,cnt,h,t,q[MAXN];
ll dp[MAXN][105];
struct Node{
    int w,h;
}a[MAXN];
bool cmp(Node a,Node b){
    if(a.w>b.w)return true;
    if(a.w==b.w&&a.h>b.h)return true;
    return false;
}
ll up(int k2,int k1,int j){
    return dp[k2][j-1]-dp[k1][j-1];
}
ll down(int k2,int k1){
    return a[k1+1].w-a[k2+1].w;
}
ll getDP(int i,int k,int j){
    return dp[k][j-1]+1ll*a[k+1].w*a[i].h;
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].h);
        sort(a+1,a+n+1,cmp);
        cnt=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            if(a[i].w<a[cnt].w&&a[i].h>a[cnt].h)
                a[++cnt]=a[i];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=cnt;i++)dp[i][1]=a[1].w*a[i].h;
        k=min(k,cnt);
        for(int j=2;j<=k;j++){
            h=t=0;q[t++]=0;
            for(int i=1;i<=cnt;i++){
                while(h+1<t&&up(q[h+1],q[h],j)<=a[i].h*down(q[h+1],q[h]))
                    h++;
                dp[i][j]=getDP(i,q[h],j);
                while(h+1<t&&up(i,q[t-1],j)*down(q[t-1],q[t-2])<=up(q[t-1],q[t-2],j)*down(i,q[t-1]))
                    t--;
                q[t++]=i;
            }
        }
        printf("%lld\n",dp[cnt][k]);
    }
    return 0;
}

在网站上提交的时候是WA，此时找了好几个其他博客的代码，发现也是WA，然后去 uDebug 上造数据如下：

5 6
100 8
300 7
500 6
600 19
700 30

输出为 5600 ，但是显然是错的，排序去重之后只会剩下 700,30 这个点，所以最小花费应该是 21000 ，或许测评那边出问题了吧…