POJ 3709 K-Anonymous Sequence 斜率DP

K-Anonymous Sequence POJ - 3709

给一个不降的序列，以及一个数 $k$，对这个序列进行操作，允许对某些数减去一定的值，要求操作之后的序列的每种取值的个数至少为 $k$，定义花费为修改前后每个数的绝对值的和，求最小花费。

令 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个数的最小花费，则转移方程为：

$dp[i]=\min\{dp[j]+s[i]-s[j]-a[j+1]*(i-j)\}$

其中 $a[i]$ 为序列中第 $i$ 个元素的值，$s[i]$ 为前缀和，这个式子的意思是前 $i$ 个数的最小花费为前 $j$ 个数的最小花费加上第 $j+1$ 个数到第 $i$ 个数都改成 $a[j+1]$ 的花费。

考虑斜率DP，设 $k<j$ ，且 $j$ 优于 $k$，则有：

$\begin{aligned} dp[j]+s[i]-s[j]-a[j+1]*(i-j)&<dp[k]+s[i]-s[k]-a[k+1]*(i-k)\\ (dp[j]-s[j]+ja[j+1])-(dp[k]-s[k]+ka[k+1])&<i(a[j+1]-a[k+1])\\ \frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}&<i \end{aligned}$

其中 $y_j=dp[j]-s[j]+ja[j+1],x_j=a[j+1]$。

代码如下（注意在队列尾进行判断的时候此处必须是 $\le$）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
//#define WINE
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 500100
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,k,T,q[MAXN],h,t;
ll s[MAXN],dp[MAXN],a[MAXN];
ll up(int j,int k){
    return dp[j]-s[j]+j*a[j+1]-(dp[k]-s[k]+k*a[k+1]);
}
ll down(int j,int k){
    return a[j+1]-a[k+1];
}
ll getDP(int k,int i){
    return dp[k]+s[i]-s[k]-a[k+1]*(i-k);
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
            s[i]=s[i-1]+a[i];
        }
        h=t=0;q[t++]=0;
        for(int i=k;i<=n;i++){
            while(h+1<t&&up(q[h+1],q[h])<i*down(q[h+1],q[h]))
                h++;
            dp[i]=getDP(q[h],i);
            int j=i-k+1;
            if(j<k)continue;
            while(h+1<t&&up(j,q[t-1])*down(q[t-1],q[t-2])<=up(q[t-1],q[t-2])*down(j,q[t-1]))
                t--;
            q[t++]=j;
        }
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}