LightOJ 1265 Island of Survival 概率DP

Island of Survival LightOJ - 1265

一个岛上有 $t$ 个老虎和 $d$ 鹿，还有一个人，每次从中选出来两种动物（包括人），进行操作：

（1）人 和 老虎：老虎吃人
（2）老虎 和 鹿：老虎吃鹿
（3）鹿 和 鹿：啥都不发生
（4）人 和 鹿：人可以选择吃或不吃鹿
（5）老虎 和 老虎：两败俱伤，都死掉

当老虎都死掉的时候人获得胜利，问人的获胜概率是多大（遇见鹿时通过选择来最大化获胜概率）？

首先，老虎必须是偶数只，才有可能都死掉，所以 $t$ 为奇数时获胜概率为 $0$；其次，每次人遇见鹿时选择不杀，这样有更大的概率给老虎选到鹿。

然后用 $dp[i][j]$ 表示还有 $i$ 只老虎，$j$ 只鹿时人的获胜概率，$dp[0][j]=1$，则：

$\begin{aligned} dp[i][j]&=\frac{C_i^2}{C_{i+j+1}^2}dp[i-2][j]+\frac{C_i^1C_j^1}{C_{i+j+1}^2}dp[i][j-1]+\frac{C_j^1+C_j^2}{C_{i+j+1}^2}dp[i][j]\\ dp[i][j]&=\frac{i(i-1)/2}{(i+j+1)(i+j)/2-j-j(j-1)/2}dp[i-2][j]\\ &+\frac{ij}{(i+j+1)(i+j)/2-j-j(j-1)/2}dp[i][j-1]\\ dp[i][j]&=\frac{i(i-1)}{(i+j+1)(i+j)-j-j^2}dp[i-2][j]\\ &+\frac{2ij}{(i+j+1)(i+j)-j-j^2}dp[i][j-1]\\ \end{aligned}$

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
//#define WINE
#define MAXN 1005
using namespace std;
int T,iCase,t,d,sum;
double dp[MAXN][MAXN],res;
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&t,&d);
        if(t%2!=0){
            printf("Case %d: 0\n",++iCase);
            continue;
        }
        for(int i=0;i<=t;i+=2)
            for(int j=0;j<=d;j++){
                if(i==0){
                    dp[i][j]=1;
                    continue;
                }
                sum=(i+j+1)*(i+j)-j-j*j;
                dp[i][j]=i*(i-1)*1.0/sum*dp[i-2][j];
                if(j!=0)dp[i][j]+=2.0*i*j/sum*dp[i][j-1];
            }
        printf("Case %d: %.10lf\n",++iCase,dp[t][d]);
    }
    return 0-1;
}

还有一种解法是，输赢只和老虎数量有关，设 $dp[i]$ 为有 $i$ 只老虎时，人获胜的概率，则：

$\begin{aligned} dp[i]&=\frac{C_i^2}{C_{i+1}^2}dp[i-2]\\ dp[i]&=\frac{i-1}{i+1}dp[i-2] \end{aligned}$

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
//#define WINE
#define MAXN 1005
using namespace std;
int T,iCase,t,d;
double dp[MAXN];
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&t,&d);
        if(t%2!=0){
            printf("Case %d: 0\n",++iCase);
            continue;
        }
        dp[0]=1;
        for(int i=2;i<=t;i+=2)
            dp[i]=1.0*(i-1)/(i+1)*dp[i-2];
        printf("Case %d: %.8lf\n",++iCase,dp[t]);
    }
    return 0;
}

（没写时间是因为用时 0ms…）