LightOJ 1274 Beating the Dataset 组合/期望DP

Beating the Dataset LightOJ - 1274

有 $n$ 个文件，每个文件里面包含 $YES$ 或者 $NO$，前者 3 bytes，后者 2 bytes，并且知道这些文件的总大小 $s$。

现在定义自己的输出，第 $1$ 个输出为 $YES$，第 $i(2\le i\le n)$ 个输出为第 $i-1$ 个文件中包含的内容，也就是说，假如 $n$ 个文件中分别包含字符串为 $x_1,\cdots, x_n$，那么自己的输出就是 $x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}$，其中 $x_0$ 为 $YES$。

问自己的输出和给定的文件平均会有多少个不一样？

我觉得这道题还是挺难的…

首先根据 $s$ 和 $n$ 就可以分别计算出 $YES$ 和 $NO$ 的个数，问题就可以转化为 $x$ 个 $0$ 和 $y$ 个 $1$ 组成一个 $01$ 串，问这个串的全排列其中一个位置与前一个位置不同或者第一位为 $0$ 的期望。

首先认为这些 $0,1$ 是互异的，那么总的方案数有 $(x+y)!$ 种，把 $01$ 看成一个数字，形成的排列个数有 $(x+y-1)!$ 种，而 $01$ 本身又有 $x\cdot y$ 种，$01$ 可以交换变成 $10$，那么相当于有 $2xy$ 种；把 $0$ 放在首位有 $x$ 种，后面随便排列，有 $(x+y-1)$ 种，因此期望为：

$\frac{(2xy\cdot(x+y-1)!+x\cdot(x+y-1)!)}{(x+y)!}=\frac{2xy+x}{x+y}$

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
//#define WINE
using namespace std;
int T,iCase,n,s,x,y;
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&s);
        y=s-2*n;x=n-y;
        printf("Case %d: %.8lf\n",++iCase,(2.0*x*y+x)/n);
    }
    return 0;
}