LightOJ 1284 Lights inside 3D Grid 概率/期望

Lights inside 3D Grid LightOJ - 1284

给一个三维格子，每个维度的大小为 $X,Y,Z$，每个位置有一盏灯，刚开始的时候每个灯都关着，进行 $K$ 次操作：

（1）随机选一个格子 $A$
（2）随机再选一个格子 $B$
（3）改变由 $A,B$ 包围起来的方体的灯的状态（开$\to$关，关$\to$开）

计算 $K$ 次操作后，开灯数的期望。

对于每一个点 $(x,y,z)$，设选中的格点分别为 $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)$，只有当 $x_1\le x\le x_2$ 且 $y_1\le y\le y_2$ 且 $z_1\le z\le z_2$ 时，点的状态才会改变，设点分别在这三个区间内的概率为 $p_x,p_y,p_z$，则 $p_x=1-$ 不在$[x_1,x_2]$ 区间内的概率，而不在 $[x_1,x_2]$ 区间内的概率 $=$ 随机的两个边界点都在 $x$ 的同一侧的概率，因此有：

$p_x=1-(\frac{x-1}{X})^2-(\frac{X-x}{X})^2$

其中 $X$ 是 $x$ 所在维度的大小。

设 $p$ 为 $(x,y,z)$ 在 $A,B$ 之间的概率，则

$p=p_xp_yp_z$

总共要进行 $K$ 轮，那么每一轮使得 $(x,y,z)$ 在 $A,B$ 之间的概率都是 $p$，当该点总共在区间内的次数是奇数次时，这个灯才是亮着的状态，设 $f(i)$ 为 $i$ 轮之后，在区间内的次数是奇数次的概率，$g(i)$ 为相应偶数次的概率，则：

$\begin{aligned} f(i)&=pg(i-1)+(1-p)f(i-1)\\ g(i)&=pf(i-1)+(1-p)g(i-1)\\ f(i)+g(i)&=1 \end{aligned}$

解上述等式组，得：

$\begin{aligned} f(i)&=p(1-f(i-1))+(1-p)f(i-1)\\ f(i)&=p+(1-2p)f(i-1)\\ f(i)+a&=(1-2p)(f(i-1)+a)\\ f(i)&=-2pa+(1-2p)f(i-1)\\ a&=-\frac{1}{2}\\ f(i)-\frac{1}{2}&=(1-2p)(f(i-1)-\frac{1}{2})\\ f(i)-\frac{1}{2}&=(1-2p)^{i-1}(f(1)-\frac{1}{2})=-\frac{(1-2p)^i}{2}\\ f(i)&=\frac{1-(1-2p)^i}{2} \end{aligned}$

因此 $f(K)=\dfrac{1-(1-2p)^K}{2}$。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
//#define WINE
#define P(x,X) (1-(1.0*(x-1)*(x-1)+(X-x)*(X-x))/(X*X))
using namespace std;
int T,iCase,X,Y,Z,K;
double res,p;
double pow(double x,int p){
    double base=x,res=1;
    while(p){
        if(p&1)res*=base;
        base*=base;
        p>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d%d",&X,&Y,&Z,&K);
        res=0;
        for(int x=1;x<=X;x++)
            for(int y=1;y<=Y;y++)
                for(int z=1;z<=Z;z++){
                    p=P(x,X)*P(y,Y)*P(z,Z);
                    res+=(1-pow(1-2*p,K))/2;
                }
        printf("Case %d: %.8lf\n",++iCase,res);
    }
    return 0;
}