HDU 4747 Mex 递推DP/线段树

Mex HDU - 4747

定义 $\mathrm{mex}(S)$ 为集合 $S$ 中未出现的最小非负整数。

给一个非负整数序列 $\{a_i\}_{i=1}^n$，定义 $\mathrm{mex}(L,R)$ 为 $a_L\sim a_R$ 之间未出现的最小非负整数，计算：

$\sum_{1\le L\le R\le n}\mathrm{mex}(L,R)$

这题看得我脑壳疼…有两种方法，第一种是线段树，另一种是递推DP。

第二种方法可以看 对hdu4747 Mex 的详解

我尝试再细化一下…

首先令

$f[i]=\sum_{1\le L\le i}\mathrm{mex}(L,i)$

则有：

$\begin{aligned} f[i+1]&=\sum_{1\le L\le i+1}\mathrm{mex}(L,i+1) \end{aligned}$

对于 $k\le i$，有：

$\mathrm{mex}(k,i)\le\mathrm{mex}(k,i+1)$

因此有 $f[i]\le f[i+1]$，假设我们现在已经求出来了 $f[i]$，现在的目标是用 $f[i]$ 推出来 $f[i+1]$，最后的结果就是

$res=\sum_{i=1}^nf[i]$

（为了和代码对应，统一往前移一下）用 $f[i-1]$ 来推 $f[i]$ 实际上就是想办法用 $\mathrm{mex}(k,i-1)$ 来推 $\mathrm{mex}(k,i)$，也就是看加上 $a[i]$ 这个元素，对集合 $\mathrm{mex}$ 值的影响，首先找到元素 $a[i]$ 之前出现时所在的下标：$last=pos[a[i]]$，此时能够保证集合 $\{a[k]|k\in[last+1,i]\}$ 中 $a[i]$ 是唯一出现的，并且就出现在下标 $i$ 处，而对于 $j\le last$ 对应的集合 $\{a[k]|k\in[j,i]\}$ 中 $a[i]$ 不唯一出现，此时可以看到 $\mathrm{mex}(j,i-1)=\mathrm{mex}(j,i)$ ，因为 $a[i]$ 的作用被前一个他自己给冲掉了。所以考虑用 $\mathrm{mex}(k,i-1)$ 来推 $\mathrm{mex}(k,i)$ 时只需考虑 $k\ge last+1$ 的部分，之前的部分与上一次计算的相同。

所以现在考虑 $k\ge last+1$ 时，$\mathrm{mex}(k,i)$ 比 $\mathrm{mex}(k,i-1)$ 多多少（很容易证明前者 $\ge$ 后者）。

定义集合 $\mathcal{A}=\{0,1,\cdots,d\}$，定义 $full[d]$ 如下：

$full[d]=\max\{x|\mathcal{A}\subset\{a[k]|k\in[x,i]\}\}$

也就是说此时集合 $\{a[k]|k\in[full[d],i]\}$ 包含了集合 $\mathcal{A}$，并且此时 $full[d]$ 取得是最靠右的值，考虑 $a[i]\le d< n$，首先考虑 $d=a[i]$，假如 $full[d]>last$ ，说明区间 $[full[d],i]$ 之间已经包含 $[0,d]$（也就是 $[0,a[i]]$）所有元素，又由于 $a[i]$ 唯一（只在下标 $i$ 处出现过），因此区间 $[full[d],i-1]$ 之间包含 $[0,d-1]$ 之间所有元素，此时有：

$\begin{aligned} \mathrm{mex}(full[d],i)&=d+1\\ \mathrm{mex}(full[d],i-1)&=d\\ \mathrm{mex}(full[d],i)&=\mathrm{mex}(full[d],i-1)+1\\ \end{aligned}$

也就是说 $\mathrm{mex}(full[d],i)$ 是在 $\mathrm{mex}(full[d],i-1)$ 的基础上累加了 $1$。再看 $[k,i],k\in(last,full[d])$，的情形，假如区间 $[k,full[d])$ 之间对应的元素仍在 $[0,d]$ 范围内，则效果相同： $\mathrm{mex}(k,i)=\mathrm{mex}(k,i-1)+1$，而假如区间 $[k,full[d]]$ 之间的元素有些不在 $[0,d]$ 范围内，可知这些元素必定 $>d$，因此 $\mathrm{mex}(k,i)\ge\mathrm{mex}(k,i-1)+1$，也可以先累加上一个 $1$，至于剩下的累加是在 $d>a[i]$ 时考虑进去的。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 200010
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,a[MAXN],pos[MAXN],full[MAXN],last;
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    while(scanf("%d",&n)&&n){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        memset(pos,0,sizeof(pos));
        memset(full,0,sizeof(full));
        ll tt=0,res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(a[i]<n){
                last=pos[a[i]];
                pos[a[i]]=i;
                for(int d=a[i];d<n;d++){
                    if(d)full[d]=min(full[d-1],pos[d]);
                    else full[d]=i;
                    if(full[d]>last)tt+=full[d]-last;
                    else break;
                }
            }
            res+=tt;
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}