HDU 4489 The King’s Ups and Downs 组合DP

The King’s Ups and Downs HDU - 4489

给一个整数 $n$，求 $\{1,\cdots,n\}$ 符合以下条件的的排列数：

设 $a_1,\cdots,a_n$ 为一个排列，要求该排列中：

$\cdots>a_{k-1}<a_k>a_{k+1}<a_{k+2}>a_{k+3}<\cdots$

按从 $1$ 到 $n$ 的顺序插入到队列中，令 $dp[i]$ 为前 $i$ 个对应的排列数，并且要求结尾时 “高低”（同样也可以用来表示前 $i$ 个对应的排列，开头是 “低高”） 则有：

$dp[i]=\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{i-1}dp[j]*dp[i-j-1]*C_{i-1}^j$

也就是说当插入 $i$ 时，首先选一个位置，这个位置前面有 $j$ 个数，其末尾为 “高低”，这个位置后面有 $i-j-1$ 个数，其开头为 “低高”，求和得到的结果即为前 $i$ 个对应的排列数，再除以 $2$ 得到的是结尾限制为 “高低” 对应的排列数（同时也可以表示开头限制为 “低高” 对应的排列数）

求组合数 $C_i^j$

$C_i^j=C_{i-1}^j+C_{i-1}^{j-1}$

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 21
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,t,n;
ll c[MAXN][MAXN],dp[MAXN];
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    for(int i=0;i<=MAXN;i++)
        c[i][i]=c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    dp[0]=dp[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        ll res=0;
        for(int j=0;j<i;j++)
            res+=dp[j]*dp[i-j-1]*c[i-1][j];
        dp[i]=res/2;
    }
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&t,&n);
        printf("%d %lld\n",t,(n==1?1:dp[n]*2));
    }
    return 0;
}