洛谷 P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

求单源最短路径。

可以记住的模板有：堆优化的 Dijkstra，Bellman-Ford，SPFA。

堆优化的 Dijkstra：算法复杂度为 $O(|E|\cdot T_{\text{dk}}+|V|\cdot T_{\text{em}})$，其中 $|E|$ 是边集大小，$|V|$ 是点集大小，$T_{\text{dk}}$ 是对队列进行修改（添加元素或改变一个元素的值 decrease-key）对应的时间，$T_{\text{em}}$ 是取队列中最小值（并删除）对应的时间（extract-minimum）。对于二叉堆来说，$T_{\text{dk}}=\log|V|$，访问最小值要 $O(1)$，但是删除最小值后需要调整堆来满足性质，对应复杂度 $O(\log|V|)$，因此堆优化的 Dijkstra 的时间复杂度为 $O((|E|+|V|)\log|V|)$。以上参考 Wikipedia

Bellman-Ford：每次对所有的边进行松弛操作，进行 $|V|-1$ 次，对于无负环图来说，离源点最远的点最多相距 $|V|-1$ 条边，因此进行 $|V|-1$ 次操作可以找到到所有点的最短路径。之后再进行一次操作，假如仍能进行松弛，则存在负环。时间复杂度为 $O(|V|\cdot|E|)$。

SPFA：全称 Shortest Path Faster Algorithm，是对 Bellman-Ford 的改进，不同于每次对所有边进行松弛，SPFA 维护一个点集，该点集中存放上一次松弛后的点，每次从该点集中取点进行松弛。SPFA 在随机稀疏图中效果较好，并且可以处理负权图的情况，但是最差复杂度可达 $O(|V|\cdot|E|)$。

总的来说，对于非负权图来说，堆优化的 Dijkstra 是最优的，判断负环回路时用 SPFA。

堆优化的 Dijkstra 代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 100010
#define MAXM 400010
using namespace std;
int n,m,s,u,v,w,dis[MAXN],head[MAXN],cnt[MAXN],tot;
bool vis[MAXN];
struct Edge{
    int to,w,nxt;
}edge[MAXM];
struct Node{
    int u,d;
    Node(){}
    Node(int _u,int _d):u(_u),d(_d){}
    bool operator<(const Node& b)const{
        return d>b.d;
    }
};
void addedge(int u,int v,int w){
    edge[tot].to=v;edge[tot].w=w;
    edge[tot].nxt=head[u];
    head[u]=tot++;
}
bool dijkstra(){
    memset(dis,INF,sizeof(dis));
    priority_queue<Node> q;
    dis[s]=0;
    q.push(Node(s,0));
    while(!q.empty()){
        Node t=q.top();q.pop();
        int u=t.u,d=t.d;
        if(vis[u])continue;vis[u]=true;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
            int v=edge[i].to,w=edge[i].w;
            if(!vis[v]&&dis[u]+w<dis[v]){
                dis[v]=dis[u]+w;
                q.push(Node(v,dis[v]));
                if(++cnt[v]>n)return false;
            }
        }
    }
    return true;
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w);
    }
    dijkstra();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",dis[i]);
    return 0;
}

SPFA 和 Bellman-ford 较慢，无法通过所有测试点

SPFA 代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 100010
#define MAXM 200010
using namespace std;
int n,m,s,u,v,w,dis[MAXN],cnt[MAXN],tot,head[MAXN];
bool inq[MAXN]; 
struct Edge{
    int to,w,nxt;
}edge[MAXM];
void addedge(int u,int v,int w){
    edge[tot].to=v;edge[tot].w=w;
    edge[tot].nxt=head[u];
    head[u]=tot++;
}
bool spfa(){
    memset(dis,INF,sizeof(dis));
    dis[s]=0;
    queue<int> q;q.push(s);
    inq[s]=true;cnt[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        inq[u]=false;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
            int v=edge[i].to,w=edge[i].w;
            if(dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;
                if(!inq[v]){
                    q.push(v);inq[v]=true;
                    if(++cnt[v]>n)return false;//negative loop
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w);
    }
    spfa();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",dis[i]);
    return 0;
}

Bellman-Ford 代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 100010
#define MAXM 200010
using namespace std;
int n,m,s,u,v,w,dis[MAXN],tot;
struct Edge{
    int u,v,w;
}edge[MAXM];
void addedge(int u,int v,int w){
    edge[tot].u=u;edge[tot].v=v;
    edge[tot++].w=w;
}
bool bellmanford(){
    memset(dis,INF,sizeof(dis));
    dis[s]=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        bool flag=false;
        for(int j=0;j<tot;j++){
            int u=edge[j].u,v=edge[j].v;
            int w=edge[j].w;
            if(dis[u]+w<dis[v])
                dis[v]=dis[u]+w,flag=true;
        }
        if(!flag)return true;
    }
    for(int j=0;j<tot;j++){
        int u=edge[j].u,v=edge[j].v;
        int w=edge[j].w;
        if(dis[u]+w<dis[v])return false;// negative loop
    }
    return true;
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w);
    }
    bellmanford();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",dis[i]);
    return 0;
}