泛函分析 第一章 2 距离空间的基本概念(1) 笔记

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基本定义要清晰
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只需证明三角不等式，对于 (Rn,d1)(\R^n,d_1) 来说，要证明：

d1(x,y)≤d1(x,z)+d1(z,y)∑k=1n∣ξk−ηk∣≤∑k=1n∣ξk−ζk∣+∑k=1n∣ζk−ηk∣ \begin{aligned} d_1(x,y)&\le d_1(x,z)+d_1(z,y)\\ \sum_{k=1}^n|\xi_k-\eta_k|&\le\sum_{k=1}^n|\xi_k-\zeta_k|+\sum_{k=1}^n|\zeta_k-\eta_k| \end{aligned}
根据绝对值不等式，对 ∀k∈[1,n]\forall k\in[1,n]，有 ∣ξk−ηk∣≤∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣|\xi_k-\eta_k|\le|\xi_k-\zeta_k|+|\zeta_k-\eta_k|，因此上式成立。

对于 (Rn,d∞)(\R^n,d_\infty) 来说，

max⁡{∣ξk−ζk∣}+max⁡{∣ζk−ηk∣}≥max⁡{∣ξk−ζk∣+∣ζk−ηk∣}≥max⁡{∣ξk−ηk∣} \begin{aligned} \max\{|\xi_k-\zeta_k|\}+\max\{|\zeta_k-\eta_k|\}&\ge\max\{|\xi_k-\zeta_k|+|\zeta_k-\eta_k|\}\\ &\ge \max\{|\xi_k-\eta_k|\} \end{aligned}

因此三角不等式成立。

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首先 l∞l^\infty 非负、对称，仅在 x=yx=y 时为零，因此只需证三角不等式，即证：

sup⁡j∈N{∣ξj−ηj∣}≤sup⁡j∈N{∣ξj−ζj∣}+sup⁡j∈N{∣ζj−ηj∣} \sup_{j\in\N}\{|\xi_j-\eta_j|\}\le\sup_{j\in\N}\{|\xi_j-\zeta_j|\}+\sup_{j\in\N}\{|\zeta_j-\eta_j|\}

类似地有：

sup⁡j∈N{∣ξj−ζj∣}+sup⁡j∈N{∣ζj−ηj∣}≥sup⁡j∈N{∣ξj−ζj∣+∣ζj−ηj∣}≥sup⁡j∈N{∣ξj−ηj∣} \begin{aligned} \sup_{j\in\N}\{|\xi_j-\zeta_j|\}+\sup_{j\in\N}\{|\zeta_j-\eta_j|\}&\ge\sup_{j\in\N}\{|\xi_j-\zeta_j|+|\zeta_j-\eta_j|\}\\ &\ge\sup_{j\in\N}\{|\xi_j-\eta_j|\} \end{aligned}

证毕。

posted @ 2020-05-04 09:56  winechord  阅读(411)  评论(0)  编辑  收藏  举报