泛函分析 第一章 3 开集和连续映射(2) 笔记

这个地方是在证明假如 $S_1$ 是开集，那么其原像 $S$ 也是开的，证明方法是取 $\forall x_0\in S$ ，记 $y_0=Tx_0\in S_1$， 然后分别用两个条件：

1. $S_1$ 开 => $B_1(y_0,\epsilon)\sub S_1$
2. $T$ 连续 => $TB(x_0,\delta)\sub B_1(y_0,\epsilon)\sub S_1$

此时由 $TB(x_0,\delta)\sub S_1$ 可以推出 $B(x_0,\delta)\sub S$ ，因为已经定义了 $S$ 是 $S_1$ 的原像，因此变换之后都在 $S_1$ 中就说明变换之前都在 $S$ 中。

最后因为 $x_0$ 任意，因此 $S$ 是开集。