洛谷 P5960 【模板】差分约束算法 SPFA/Bellman-Ford

给 $m$ 个不等式，有 $n$ 个未知数，求任意一组解。

每个不等式形如：$x_c-x_{c'}\le y$

思路：每个差分约束可以转变为 $x_c\le x_{c'}+y$ 这个形式类似于单源最短路径中的三角不等式 $d[y]\le d[x]+z$ ，因此令 $c,c'$ 为结点的编号， $c'$ 到 $c$ 连一条距离为 $y$ 的有向边，然后令 $d[0]=0$ 并向每一个点连一条边，跑单源最短路径，若存在负环，则无解，有解时为 $d$ 各元素的值。

判负环：用 Bellman-Ford 或队列优化后的 Bellman-Ford （SFPA），最坏时间复杂度：$O(nm)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define MAXN 5010
#define MAXM 10010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int head[MAXN],vis[MAXN],d[MAXN],n,m,tot;
int cnt[MAXN];
struct Edge{
    int v,w,nxt;
}edge[MAXM];
void addedge(int u,int v,int w){
    edge[tot].v=v;edge[tot].w=w;
    edge[tot].nxt=head[u];head[u]=tot++;
}
bool spfa(int s){
    queue<int> q;
    memset(d,INF,sizeof(d));
    d[s]=0;vis[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        vis[u]=0; // vis 实质上是该结点是否在队列中的标志
        // 出队列时清除标志，也就是说，同一个结点有可能访问多次
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
            int v=edge[i].v;
            if(d[v]>d[u]+edge[i].w){
                d[v]=d[u]+edge[i].w; // 先进行d松弛
                if(!vis[v]){  // 再判断目标结点是否已经在队列中
                    vis[v]=1;cnt[v]++; // 入队列时标志为1
                    if(cnt[v]==n)return false;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        addedge(0,i,0);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&v,&u,&w);
        addedge(u,v,w);
    }
    if(!spfa(0))printf("NO\n");
    else
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",d[i]);
    return 0;
}