洛谷 P5656 【模板】二元一次不定方程(exgcd)

给一个二元一次不定方程

$ax+by=c$

• 无整数解：输出 -1
• 有整数解：
  • 有正整数解：输出解的个数，输出 $x,y$ 的最小值和最大值
  • 无正整数解：输出 $x,y$ 的最小正整数值

思路：

首先是欧几里得算法，用来求 $\mathrm{gcd}(a,b)$，首先假设 $a>b$，假如 $b\mid a$，则 $\mathrm{gcd}(a,b)=b$，假如 $b\nmid a$，则：

$a=kb+c$

令 $d\mid a,d\mid b$，则显然有 $d\mid c$ ，令 $d=\mathrm{gcd}(a,b)$，则 $\mathrm{gcd}(a,b)\mid c$，而 $c=a\bmod b$，因此 $\mathrm{gcd}(a,b)=\mathrm{gcd}(b,a\bmod b)$。

int gcd(int a,int b){
	if(!b)return a;
	return gcd(b,a%b);
}

然后是扩展欧几里得，用来求 $ax+by=\mathrm{gcd}(a,b)$ 的一组可行解，首先令

$\begin{aligned} ax_1+by_1&=\mathrm{gcd}(a,b)\\ bx_2+(a\bmod b)y_2&=\mathrm{gcd}(b,a\bmod{b}) \end{aligned}$

根据欧几里得算法，有 $\mathrm{gcd}(a,b)=\mathrm{gcd}(b,a\bmod b)$，因此：

$\begin{aligned} ax_1+by_1&=bx_2+(a\bmod b)y_2\\ ax_1+by_1&=bx_2+(a-b\lfloor\frac{a}{b}\rfloor)y_2\\ ax_1+by_1&=ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)\\ \end{aligned}$

可得：

$\begin{aligned} x_1&=y_2\\ y_1&=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2 \end{aligned}$

通过递归可解：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1,y=0;return a;}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
	return d;
}

由此可以解出 $x_0,y_0$ 使得

$ax_0+by_0=\mathrm{gcd}(a,b)$

成立，为了解出 $ax+by=c$ 的一个特解，对上式做一些变换，得：

$a\frac{x_0c}{\mathrm{gcd}(a,b)}+b\frac{y_0c}{\mathrm{gcd}(a,b)}=c$

因此可得原方程得一个特解 $x_1,y_1$：

$x_1=\frac{x_0c}{\mathrm{gcd}(a,b)},\;y_1=\frac{y_0c}{\mathrm{gcd}(a,b)}$

然后构造原方程通解，令 $d\in\mathbb{Q}$，则

$a(x_1+db)+b(y_1-da)=c$

并且 $da,db\in\Z$，易知 $d=\dfrac{1}{\mathrm{gcd}(a,b)}$，令

$d_x=\frac{b}{\mathrm{gcd}(a,b)},\;d_y=\frac{a}{\mathrm{gcd}(a,b)}$

则通解为：

$\begin{aligned} x&=x_1+sd_x\\ y&=y_1-sd_y \end{aligned}$

其中 $s\in \Z$。

考虑解出来的 $x,y$ 均为正整数，则

$\begin{aligned} x_1+sd_x>0&\implies s>-\frac{x_1}{d_x}\\ y_1-sd_y>0&\implies s<\frac{y_1}{d_y} \end{aligned}$

因此

$L=\lceil\frac{-x_1+1}{d_x}\rceil\le s\le \lfloor\frac{y_1-1}{d_y}\rfloor=R$

假如 $L>R$，则不存在正整数解，$s=L$ 时得 $x_{\min}$，$s=R$ 时得 $x_{\max}$；

否则，存在正整数解，解的个数是 $R-L+1$，$s=L$ 时可以得到 $x_{\min},y_{\max}$ ，$s=R$ 时可以得到 $x_{\max},y_{\min}$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T;
ll a,b,c;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return d;
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll x0,y0;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
        ll d=exgcd(a,b,x0,y0);
        if(c%d){
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        ll x1=x0*c/d,y1=y0*c/d;
        ll dx=b/d,dy=a/d;
        ll L=(ll)ceil((-x1+1)*1.0/dx);
        ll R=(ll)floor((y1-1)*1.0/dy);
        ll xmin=x1+L*dx;
        ll ymin=y1-R*dy;
        if(L>R){
            printf("%lld %lld\n",xmin,ymin);
            continue;
        }
        ll xmax=x1+R*dx,ymax=y1-L*dy;
        printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n",R-L+1,xmin,ymin,xmax,ymax);
    }
    return 0;
}