洛谷 P4342 [IOI1998]Polygon 区间DP+断链成环

一个多边形，每个顶点有一个数字，每条边上有 $+$ 或 $\times$ 的运算符，首先去掉一条边，然后选择相邻的顶点根据之间连接的边上的运算符进行合并，问最后合并成一个结点能够得到的最大值是多少？

思路：区间DP，首先断链成环，令 $f[i][j]$ 为 $[i,j]$ 区间能够得到的最高分，可以得到：

加法：

$f[i][j]=\max(f[i][k]+f[k+1][j])$

乘法：

$f[i][j]=\max(f[i][k]\times f[k+1][j])$

但是仅仅如此是不够的，因为还存在负数，最大值有可能通过两个负数相乘得到，因此再设置一个 $g[i][j]$ 来表示区间能够得到的最小值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 110
using namespace std;
int n,a[MAXN],f[MAXN][MAXN],g[MAXN][MAXN],res;
char c[MAXN];
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf(" %c %d ",&c[i],&a[i]); // c 为运算符, a 为数字
        a[n+i]=a[i];c[n+i]=c[i];
    }
    memset(f,-0x3f,sizeof(f)); // f 存区间能得到的最大值
    memset(g,0x3f,sizeof(g));  // g 存区间能得到的最小值
    for(int i=1;i<=2*n;i++)f[i][i]=g[i][i]=a[i];
    for(int len=2;len<=n;len++){
        for(int i=1;i<=2*n-len+1;i++){
            int j=i+len-1;
            for(int k=i;k<j;k++)
                if(c[k+1]=='x'){
                    int a=f[i][k]*f[k+1][j],b=f[i][k]*g[k+1][j];
                    int c=g[i][k]*f[k+1][j],d=g[i][k]*g[k+1][j];
                    f[i][j]=max(f[i][j],max(a,max(b,max(c,d))));
                    g[i][j]=min(g[i][j],min(a,min(b,min(c,d))));
                }
                else if(c[k+1]=='t'){
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
                    g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k+1][j]);
                }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,f[i][i+n-1]);
    printf("%d\n",res);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(f[i][i+n-1]==res)
            printf("%d ",i);
    return 0;
}