数字三角形问题

数字三角形问题

　　上周没看题，一个月总有那么几天不方便，智商不在线，人也特别懒惰。恩，懂的人都会懂，哈哈~~废话少说~~~

　　记得这条题是作为动态规划初步引入的例题，不过因为工作后基本就没接触算法了，所以不太记得状态转移方程是怎样的。想了大半个小时，才想起解法（期间一直注意力不集中，风水说工作学习地方和床放一块是会有这种情况，参考故宫的前朝后寝，所以就容易摸鱼）

　　先简单介绍下题目意思（选自刘汝佳的《算法竞赛入门经典》（第2版）第9章的9.1.1）。

 

一、题目描述

　　有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下面之外每个数的左下方和右下方各有一个数，如图所示：

　　

 

 　　从第一行的数开始，每次可以往左或往右走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来，如何走才能使得这个和尽量大？

 

二、题目分析

　　其实乍一看，大家都会觉得，我每次比较下一行是左边的格子大，还是右边格子大，选一个最大的格子走，最后就能获得最大和了。

　　这种想法是贪心算法，也就是，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。下面我举个例子来证明这种做法是错的：

 

 　按贪心思路去解，会获得红色箭头的路径，而这个和在最后不是最大的，而是最右边这条：1——》2——》1——》50

　 动态规划和贪心的区别可以参考这篇文章了解下：https://blog.csdn.net/sindyra/article/details/101098036

　 还是上面那个图，我加多了一行，下面左图是给出的数字三角形，右边是计算过程。下面分析下右边的计算过程是如何得出来的：

　　

 

计算过程分析： 　　

（1）第2行结果没什么好说的，就是第1行的1，分别加上第2行的数的和，所以会得出：4和3；

（2）第3行最左边和最右边的结果和也是没什么好说的，因为只能从对上的唯一一个选择计算过来。其实每一行最左边和最右边的计算和都是固定的，只能从上一行的最左边或最右边的分析结果加上当前数；回到第3行的第2个数也就是数字2，我们可以从对上一行的结果和：4 或 3 加上当前数，很明显 4 大于 3，肯定选择4+2，而不是3+2，所以会有6这个计算结果。

（3）然后对于每一行，当分析中间的数（去掉最左边和最右边的数，因为结果唯一），我们都比较上一行能选择过来的左边或者右边的哪个数大，再相加，一行行分析就会得出最后一行的结果值，从最后一行的结果值挑出最大的一个数，就是最终结果。

抽象归纳： 　

　一开始，我觉得从最后一行的原始数字，一行行递推到第一行分析是比较贴合人的思考过程的，也就是从底向上计算，但貌似不好写状态转移表达式，于是强迫自己从顶向下思考。

　 定义一个dp(i，j)，它表示格子（i，j）能得到的最大和，想想格子（i，j），它是从上一行的格子（i-1, j-1）或者格子（i-1， j）走过来的，我们肯定优先选择大的那个过来，然后加上格子（i，j）的数就是dp(i，j) 的值。

　 于是就有方程：

dp(i,j) = a(i,j) + max（dp(i-1,j-1), dp(i-1,j))

　 熟悉数组的都知道，下标处理不当会有越界问题，所以这个式子是要加判断的，还有预处理部分。

（1）dp(1,1) = 1， 因为前一行没数。dp（2,1），dp（2,2）套进去方程也是有问题的，因为 dp(i-1, j-1)的 变成 dp（1,0），是不对的。所以要加个限制：j-1>=1, i-1>=1

（2）对于每行最左边或最右边的数，也是有限制哦~~ 想想 dp(5,5) = a(5,5) + max(dp(4,4), dp(4,5)）， 是错的！哪有dp(4,5）一说，另一个限制：

if （i = j）
  dp(i,j) = a(i,j) + dp(i-1,j-1)    

　　所以状态转移方程前要加上这个判断，其他坑应该没了吧~~有的话，请细心的读者告诉我  ^_^

　　当整个三角形的数算过一遍之后，我们再对最后一行遍历，这个dp(n,1) ~ dp(n,n）（n=最后一行），最大的那个数就是结果了

　　书中的状态转移方程跟我想的大同小异：dp(i,j) = a(i,j) + max（dp(i+1,j) , dp(i+1, j+1))，表示从格子（i，j）出发时能得到的最大和，包括格子（i，j）本身的值。在这个状态下，原问题的解是dp（1,1），书中解析有点绕，我就不贴了，可以多百度看看

【我的是到达该格子，是以该格子为终点；他的是从，是以格子为起点】

　　不过想想还是比我想的好，因为没那么多人为边界去控制不可取的值。。。