乘法逆元

乘法逆元

定义

对于一个线性同余方程 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$，则 $x$ 称为 $amodb$ 的逆元，记作 $a^{-1}$。
$amodb$ 的逆元存在当且仅当 $a\perp p$

费马小定理求逆元

对于$p$为质数，由费马小定理

$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}b)$$

得

$$\begin{array}{rl}ax& \equiv a^{b-1}(\mathrm{mod}b)\\ x& \equiv a^{b-2}(\mathrm{mod}b)\end{array}$$

于是可以用快速幂求解

il int qpow(int a,int b,int p){
    ri int as=1;
    while(b>0){
        if(b&1) as=as*a%p;
        a=a*a%p,b>>=1;
    }
    return as;
} 
il int Inv(int a,int p){
    return qpow(a,p-2,p);
}

扩展欧几里得法求逆元

递归解线性同余方程 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$即可

il void exgcd(cs int a,cs int b,int &x,int &y,int &g){
    if(!b) return x=1,y=0,g=a,void();
    return exgcd(b,a%b,y,x,g),y-=x*(a/b),void();
}
il int Inv(int a,int p){
    int x=0,y=0,g=0;
    exgcd(a,p,x,y,g);
    return (x%p+p)%p;
}

线性求1~n的逆元

$$x^{-1}\equiv \{\begin{array}{l}1,x=1\\ -\lfloor \frac{p}{x}\rfloor \cdot (pmodx{)}^{-1},otherwise\end{array}(\mathrm{mod}p)$$

il void solve(int n,int p){
    inv[1]=1;
    for(ri int i=2;i<=n;++i){
        inv[i]=(-p/i*inv[p%i]%p+p)%p;
    } 
    return;
}

线性求任意n个数的逆元

首先计算 $n$ 个数的前缀积，记为 $s_i$，然后使用快速幂或扩展欧几里得法计算 $s_n$ 的逆元，记为 $s{v}_n$。
因为 $s{v}_n$ 是 $n$ 个数的积的逆元，所以当我们把它乘上 $a_n$ 时，就会和 $a_n$ 的逆元抵消，于是就得到了 $a_1$ 到 $a_{n-1}$ 的积逆元，记为 $s{v}_{n-1}$。
同理我们可以依次计算出所有的 $s{v}_i$，于是 $a_i^{-1}$ 就可以用 $s_{i-1}\times s{v}_i$ 求得。
所以我们就在 $O(n+\log p)$ 的时间内计算出了 $n$ 个数的逆元。

il void solve(int n,int p){
    s[0]=1;
    for(ri int i=1;i<=n;++i){
        s[i]=s[i-1]*a[i]%p;
    } 
    sv[n]=Inv(s[i],p);
    for(ri int i=n;i;--i){
        sv[i-1]=sv[i]*a[i]%p;
    }
    for(ri int i=1;i<=n;++i){
        inv[i]=s[i-1]*sv[i]%p;
    }    
    return;
}

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