treap

\(treap\)

基本操作

简述

\(treap\)将二叉搜索树和堆结合在一起

为维护深度，给每个节点随机分配权值\(dat\)，如下

struct tree{int s[2],vl,dt,ct,sz;}t[N];
il void upd(cs int &i){
    t[i].sz=t[i].ct+t[t[i].s[0]].sz+t[t[i].s[1]].sz;
    return;
}

在维护查询值\(val\)满足二叉搜索树结构的同时，让\(dat\)满足小根堆结构（也可以是大根堆，不过我写的小根堆）

怎么让\(dat\)满足小根堆呢，这里我们引入旋转操作\(rotate\)

\(rotate\)

旋转操作分为两种

左旋\(zag\)：将\(i\)旋到左儿子（\(i\)的右儿子向左旋转至\(i\)）

il void zag(int &i){
    int o=t[i].s[1];
    t[i].s[1]=t[o].s[0];
    t[o].s[0]=i,t[o].sz=t[i].sz;
    return upd(i),i=o,void();
}

右旋\(zig\)：将\(i\)旋到右儿子（\(i\)的左儿子向右旋转至\(i\)）

il void zig(int &i){
    int o=t[i].s[0];
    t[i].s[0]=t[o].s[1];
    t[o].s[1]=i,t[o].sz=t[i].sz;
    return upd(i),i=o,void();
}

发现\(zag\)和\(zig\)的实现很像，于是可以写在一起（多传一个参数表示方向就可以了）

il void rtt(int &i,cs bool d){//d表示方向，d=0:zag d=1:zig
    int o=t[i].s[d^1];
    t[i].s[d^1]=t[o].s[d];
    t[o].s[d]=i,t[o].sz=t[i].sz;
    return upd(i),i=o,void();    
}

（因为\(treap\)总是把\(i\)往下旋，所以不用维护父指针）

关于什么时候需要\(rotate\)，下面操作中再说

\(insert\)

to be continue~

il int add(cs int &x){
    t[++id].vl=x,t[id].dt=srd(),t[id].sz=t[id].ct=1;
    t[id].s[0]=t[id].s[1]=0;return id;
} 
il void ins(int &i,cs int &x){
    if(!i) return i=add(x),void();
    else t[i].sz++;
    if(t[i].vl==x) t[i].ct++;
    else{
        bool d=(t[i].vl<x);
        ins(t[i].s[d],x);
        if(t[t[i].s[d]].dt<t[i].dt) rtt(i,d^1);
    }
    return;
}

\(delete\)

to be continue~

il void del(int &i,cs int &x){
    if(t[i].vl==x){
        if(t[i].ct>1) t[i].ct--,t[i].sz--;
        else if(!(t[i].s[0]*t[i].s[1])) i=t[i].s[0]+t[i].s[1];
        else{
            bool d=(t[t[i].s[0]].dt<t[t[i].s[1]].dt);
            rtt(i,d),del(i,x);
        }
        return;
    }t[i].sz--;
    return del(t[i].s[(x>t[i].vl)],x);
}

查询数\(x\)的排名

to be continue~

il int rnk(cs int &x){
    ri int i=rt,rk=1;
    while(i){
        if(x==t[i].vl) return rk+t[t[i].s[0]].sz;
        if(x<t[i].vl) i=t[i].s[0];
        else rk+=t[t[i].s[0]].sz+t[i].ct,i=t[i].s[1];
    }
    return rk;
}	

查询排名为\(x\)的数

to be continue~

    il int kth(int x){
        ri int i=rt;
        while(i){
            if(t[t[i].s[0]].sz<x&&t[t[i].s[0]].sz+t[i].ct>=x) return t[i].vl;
            if(t[t[i].s[0]].sz>=x) i=t[i].s[0];
            else x-=t[t[i].s[0]].sz+t[i].ct,i=t[i].s[1];
        }
    return 0;
}

查询数\(x\)的前驱

to be continue~

il int pre(cs int &x){
    ri int i=rt,as=-inf;
    while(i){
        if(t[i].vl<x) as=t[i].vl,i=t[i].s[1];
        else i=t[i].s[0];
    }
    return as;
}

查询数\(x\)的后继

to be continue~

il int nxt(cs int &x){
    ri int i=rt,as=inf;
    while(i){
        if(t[i].vl>x) as=t[i].vl,i=t[i].s[0];
        else i=t[i].s[1];
    }
    return as;
}

to be continue~

code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define cs const
#define ri register
using namespace std;
namespace x314{
    il int rd(){
        ri int x=0,f=1;ri char c=getchar();
        while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+(c^48),c=getchar();
        return x*f;
    }
    short tl=0,wr[20];
    il void wt(int x){
        if(x<0) x=-x,putchar('-');
        do wr[++tl]=x%10,x/=10; while(x);
        while(tl) putchar(wr[tl--]+48);
        putchar('\n'),tl=0;
    }
    cs int N=1e5+5,inf=1e9+7;int rt,id;mt19937 srd(time(0));
    struct tree{int s[2],vl,dt,ct,sz;}t[N];
    il void upd(cs int &i){
        t[i].sz=t[i].ct+t[t[i].s[0]].sz+t[t[i].s[1]].sz;
        return;
    }
    il void rtt(int &i,cs bool d){//1zig 0zag
        int o=t[i].s[d^1];
        t[i].s[d^1]=t[o].s[d];
        t[o].s[d]=i,t[o].sz=t[i].sz;
        return upd(i),i=o,void();
    }
    il int add(cs int &x){
        t[++id].vl=x,t[id].dt=srd(),t[id].sz=t[id].ct=1;
        t[id].s[0]=t[id].s[1]=0;return id;
    } 
    il void ins(int &i,cs int &x){
        if(!i) return i=add(x),void();
        else t[i].sz++;
        if(t[i].vl==x) t[i].ct++;
        else{
            bool d=(t[i].vl<x);
            ins(t[i].s[d],x);
            if(t[t[i].s[d]].dt<t[i].dt) rtt(i,d^1);
        }
        return;
    }
    il void del(int &i,cs int &x){
        if(t[i].vl==x){
            if(t[i].ct>1) t[i].ct--,t[i].sz--;
            else if(!(t[i].s[0]*t[i].s[1])) i=t[i].s[0]+t[i].s[1];
            else{
                bool d=(t[t[i].s[0]].dt<t[t[i].s[1]].dt);
                rtt(i,d),del(i,x);
            }
            return;
        }
        return t[i].sz--,del(t[i].s[(x>t[i].vl)],x);
    }
    il int rnk(cs int &x){
        ri int i=rt,rk=1;
        while(i){
            if(x==t[i].vl) return rk+t[t[i].s[0]].sz;
            if(x<t[i].vl) i=t[i].s[0];
            else rk+=t[t[i].s[0]].sz+t[i].ct,i=t[i].s[1];
        }
        return rk;
    }	
    il int kth(int x){
        ri int i=rt;
        while(i){
            if(t[t[i].s[0]].sz<x&&t[t[i].s[0]].sz+t[i].ct>=x) return t[i].vl;
            if(t[t[i].s[0]].sz>=x) i=t[i].s[0];
            else x-=t[t[i].s[0]].sz+t[i].ct,i=t[i].s[1];
        }
        return 0;
    }
    il int pre(cs int &x){
        ri int i=rt,as=-inf;
        while(i){
            if(t[i].vl<x) as=t[i].vl,i=t[i].s[1];
            else i=t[i].s[0];
        }
        return as;
    }
    il int nxt(cs int &x){
        ri int i=rt,as=inf;
        while(i){
            if(t[i].vl>x) as=t[i].vl,i=t[i].s[0];
            else i=t[i].s[1];
        }
        return as;
    }
} using namespace x314;
int main(){
    int n=rd();
    for(ri int i=1,op,x;i<=n;++i){
        op=rd(),x=rd();
        if(op==1) ins(rt,x);
        if(op==2) del(rt,x);
        if(op==3) wt(rnk(x));
        if(op==4) wt(kth(x));
        if(op==5) wt(pre(x));
        if(op==6) wt(nxt(x));
    }
    return 0;
}

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