Prufer 序列

Prufer 序列

Prufer 序列可以将一个带标号 $n$ 个结点的树用 $[1,n]$ 中的 $n-2$ 个整数表示。你也可以把它理解为完全图的生成树与数列之间的双射，常用于组合计数问题上。

对树建立 Prufer 序列

Prufer 是这样建立的：每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个结点。重复 $n-2$ 次后就只剩下两个结点，算法结束。

线性构造

线性构造的本质就是维护一个指针指向我们将要删除的结点。首先发现，叶结点数是非严格单调递减的。要么删一个，要么删一个得一个。

过程

于是我们考虑这样一个过程：维护一个指针 $p$。初始时 $p$ 指向编号最小的叶结点。同时我们维护每个结点的度数，方便我们知道在删除结点的时侯是否产生新的叶结点。操作如下：

1. 删除 $p$ 指向的结点，并检查是否产生新的叶结点。
2. 如果产生新的叶结点，假设编号为 $x$，我们比较 $p,x$ 的大小关系。如果 $x>p$，那么不做其他操作；否则就立刻删除 $x$，然后检查3. 删除 $x$ 后是否产生新的叶结点，重复 $2$ 步骤，直到未产生新节点或者新节点的编号 $>p$。
   让指针 $p$ 自增直到遇到一个未被删除叶结点为止；

性质

循环上述操作 $n-2$ 次，就完成了序列的构造。接下来考虑算法的正确性。
$p$ 是当前编号最小的叶结点，若删除 $p$ 后未产生叶结点，我们就只能去寻找下一个叶结点；若产生了叶结点 $x$：

• 如果 $x>p$，则反正 $p$ 往后扫描都会扫到它，于是不做操作；
• 如果 $x<p$，因为 $p$ 原本就是编号最小的，而 $x$ 比 $p$ 还小，所以 $x$ 就是当前编号最小的叶结点，优先删除。删除 $x$ 继续这样的考虑直到没有更小的叶结点。

算法复杂度分析，发现每条边最多被访问一次（在删度数的时侯），而指针最多遍历每个结点一次，因此复杂度是 $O(n)$ 的。

Prufer 序列的性质

1. 在构造完 Prufer 序列后原树中会剩下两个结点，其中一个一定是编号最大的点 $n$。
2. 每个结点在序列中出现的次数是其度数减 $1$。（没有出现的就是叶结点）

用 Prufer 序列重建树

重建树的方法是类似的。根据 Prufer 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数。然后你也可以得到编号最小的叶结点，而这个结点一定与 Prufer 序列的第一个数连接。然后我们同时删掉这两个结点的度数。
每次我们选择一个度数为 $1$ 的最小的结点编号，与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度。到最后我们剩下两个度数为 $1$ 的点，其中一个是结点 $n$。就把它们建立连接。使用堆维护这个过程，在减度数的过程中如果发现度数减到 $1$ 就把这个结点添加到堆中，这样做的复杂度是 $O(n\log n)$ 的。

线性时间重建树

同线性构造 Prufer 序列的方法。在删度数的时侯会产生新的叶结点，于是判断这个叶结点与指针 $p$ 的大小关系，如果更小就优先考虑它

code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define cs const
#define ri register
using namespace std;

namespace Q{
    il int rd(){
        ri int x=0;ri bool f=0;ri char c=getchar();
        while(!isdigit(c)) f|=(c==45),c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+(c^48),c=getchar();
        return f?-x:x;
    }
    il void wt(long long x){
        if(x<0) x=-x,putchar(45);
        if(x>=10) wt(x/10);
        return putchar(x%10|48),void();
    }
} using namespace Q;

cs int N=5e6+1;

namespace ope{
    int p[N],f[N],deg[N];
    il long long getp(int n){
        ri long long as=0;
        for(ri int i=1;i<n;++i){
            f[i]=rd(),deg[f[i]]++;
        }
        for(ri int i=1,j=1;i<n-1;++i,++j){
            while(deg[j]) ++j; p[i]=f[j];
            while(i<n-1&&(!--deg[p[i]])&&p[i]<j){
                p[i+1]=f[p[i]],++i;
            }
        }
        for(ri int i=1;i<n-1;++i) as^=1ll*i*p[i];
        return as;
    }
    il long long getf(int n){
        ri long long as=0;
        for(ri int i=1;i<n-1;++i){
            p[i]=rd(),deg[p[i]]++;
        } p[n-1]=n;
        for(ri int i=1,j=1;i<n;++i,++j){
            while(deg[j]) ++j; f[j]=p[i];
            while(i<n&&(!--deg[p[i]])&&p[i]<j){
                f[p[i]]=p[i+1],++i;
            }
        }
        for(ri int i=1;i<n;++i) as^=1ll*i*f[i];
        return as;
    }
} using namespace ope;

signed main(){
    ri int n=rd(),m=rd();
    m==1?wt(getp(n)):wt(getf(n));
    return 0;
}

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