NTT快速数论变换
NTT快速数论变换
some 多项式变换
DFT：离散傅里叶变换 $\longrightarrow $ \(O(n^2)\)计算多项式乘法
FFT：快速傅里叶变换 $\longrightarrow $ \(O(n\log n)\)计算多项式乘法
FNTT/NTT：快速傅里叶变换的优化版 $\longrightarrow $ 优化常数及误差
FWT：快速沃尔什变换 $\longrightarrow $ 利用类似FFT的东西解决一类卷积问题
MTT：毛爷爷的FFT $\longrightarrow $ 非常nb/任意模数
FMT 快速莫比乌斯变化
定义
数论变换(\(NTT\)）是通过将离散傅立叶变换化为 \(F={\mathbb {Z}/p}\)，整数模质数 \(p\)。
这是一个 有限域，只要 \(n\) 可除 \(p-1\)，就存在本原 \(n\) 次方根，所以对于正整数 \(\xi\)，我们有 \(p=\xi n+1\)。
具体来说，对于质数 \(p=qn+1, (n=2^m)\)，原根 \(g\) 满足 \(g^{qn} \equiv 1 \pmod p\)， 将 \(g_n=g^q\pmod p\) 看做 \(\omega_n\) 的等价，则其满足相似的性质，比如 \( g_n^n \equiv 1 \pmod p, g_n^{n/2} \equiv -1 \pmod p\)。
因为这里涉及到数论变化，所以 \(N\)（为了区分 FFT 中的 \(n\)，我们把这里的 \(n\) 称为 \(N\)）可以比 \(FFT\) 中的 \(n\) 大，但是只要把 \(\frac{qN}{n}\) 看做这里的 \(q\) 就行了，能够避免大小问题。
就是 \(g^{qn}\) 的等价 \(e^{2\pi n}\)。
迭代到长度 \(l\) 时 \(g_l = g^{\frac{p-1}{l}}\)，或者 \(\omega_n = g_l = g_N^{\frac{N}{l}} = g_N^{\frac{p-1}{l}}\)。
实现
快速数论变换（\(FNTT\)）是数论变换（\(NTT\)）增加分治操作之后的快速算法。
快速数论变换使用的分治办法，与快速傅里叶变换使用的分治办法完全一致。
在\(FFT\)中，我们需要用到复数，复数虽然很神奇，但是它也有自己的局限性——需要用\(double\)类型计算，精度太低
那有没有什么东西能够代替复数且解决精度问题呢？这个东西，叫原根
原根为什么能代替单位根进行运算
因为它具有和单位根相同的性质
在FFT中，我们用到了单位根的四条性质，而原根也满足这四条性质
这样我们最终可以得到一个结论
然后把FFT中的\(\omega_n\)都替换掉就好了
code
il void ntt(int q[],int lim,int k){
for(ri int i=0;i<lim;++i){
if(i<r[i]) swap(q[i],q[r[i]]);
}
for(ri int mid=1,wn;mid<lim;mid<<=1){
wn=qpow(k?G:I,(P-1)/(mid<<1));
for(ri int R=mid<<1,j=0,w=1,x,y;j<lim;j+=R,w=1){
for(ri int t=0;t<mid;++t,w=w*wn%P){
x=q[j+t],y=w*q[j+mid+t]%P;
q[j+t]=(x+y+P)%P,q[j+mid+t]=(x-y+P)%P;
}
}
}
return;
}
code
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define cs const
#define ri register
#define int long long
using namespace std;
namespace Q{
il int rd(){
ri int x=0;ri bool f=0;ri char c=getchar();
while(!isdigit(c)) f|=(c==45),c=getchar();
while(isdigit(c)) x=x*10+(c^48),c=getchar();
return f?-x:x;
}
il void wt(int x){
if(x<0) x=-x,putchar(45);
if(x>=10) wt(x/10);
return putchar(x%10|48),void();
}
} using namespace Q;
cs int N=2097152,P=998244353,G=3,I=332748118;
namespace NTT{
int l,r[N],f[N],g[N];
il int qpow(int a,int b,int p=P){
ri int as=1;
while(b>0){
if(b&1) as=as*a%p;
a=a*a%p,b>>=1;
}
return as;
}
il int inv(int a,int p=P){
return qpow(a,p-2,p);
}
il void ntt(int q[],int lim,int k){
for(ri int i=0;i<lim;++i){
if(i<r[i]) swap(q[i],q[r[i]]);
}
for(ri int mid=1,wn;mid<lim;mid<<=1){
wn=qpow(k?G:I,(P-1)/(mid<<1));
for(ri int R=mid<<1,j=0,w=1,x,y;j<lim;j+=R,w=1){
for(ri int t=0;t<mid;++t,w=w*wn%P){
x=q[j+t],y=w*q[j+mid+t]%P;
q[j+t]=(x+y+P)%P,q[j+mid+t]=(x-y+P)%P;
}
}
}
return;
}
} using namespace NTT;
signed main(){
int n=rd(),m=rd(),lim=1;
while(lim<=n+m) lim<<=1,l++;
for(ri int i=0;i<=n;++i) f[i]=rd();
for(ri int i=0;i<=m;++i) g[i]=rd();
for(ri int i=0;i<lim;++i){
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
}
ntt(f,lim,1),ntt(g,lim,1);
for(ri int i=0;i<lim;++i) f[i]=f[i]*g[i]%P;
ntt(f,lim,0);
for(ri int i=0,s=inv(lim);i<=n+m;++i){
wt(f[i]*s%P),putchar(32);
}
return 0;
}
