无向图三元环计数

三元环

无向图 $G$ 的三元环指的是一个 $G$ 的一个子图 $G_{0}$ ，满足 $G_{0}$ 有且仅有三个点 $u$ ， $v$ ， $w$ ，有且仅有三条边 $(u, v)$ ， $(v, w)$ ， $(w, u)$ 。两个三元环 $G_{1}, G_{2}$ 不同当且仅当存在一个点 $u$ ，满足 $u \in G_{1}$ 且 $u \notin G_{2}$ 。

solution

考虑给边一个方向，重新建图，规则如下：

如果一条边两个端点的度数不一样，则由度数较小的点连向度数较大的点
（ps：大向小连边好像也可过，但是复杂度不会证）
如果度数一样，则由编号较小的点连向编号较大的点（或其他规则）

可以证明新建的图是有向无环图（DAG）
原图中的三元环一定与对应有向图中所有形如 $(u \to v)$ ， $(u \to w)$ ， $(v \to w)$ 的子图一一对应
只需要枚举 $u$ 的出边，再枚举 $v$ 的出边，然后检查 $w$ 是不是 $u$ 指向的点即可

复杂度证明

当 $d e g [u] \leq \sqrt{m}$ 时，由于新图中 $u$ 的出度不大于原图中 $u$ 的度数，所以 $u$ 的出度是 $O (\sqrt{m})$ 的
当 $d e g [u] > \sqrt{m}$ 时，由于它只能向原图中度数大于等于它的点连边，又因为原图中所有的点的度数和是 $O (m)$ 的，所以原图中度数大于 $\sqrt{m}$ 的点是 $O (\sqrt{m})$ 的，所以 $u$ 的出度是 $O (\sqrt{m})$ 的

il int calc(){
    ri int as=0;
    for(ri int i=1;i<=m;++i){
        if(deg[u[i]]<deg[v[i]]) e[u[i]].push_back(v[i]);
        else if(deg[u[i]]>deg[v[i]]) e[v[i]].push_back(u[i]);
        else{
            if(u[i]<v[i]) e[u[i]].push_back(v[i]);
            else e[v[i]].push_back(u[i]);
        }
    }
    for(ri int i=1;i<=n;++i){
        for(ri int vi:e[i]) t[vi]=i;
        for(ri int vi:e[i]){
            for(ri int w:e[vi]){
                if(t[w]==i) as++;
            }
        } 
    }
    return as;
}

code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ri register
#define cs const
using namespace std;

namespace Q{
    il int rd(){
        ri int x=0;ri bool f=0;ri char c=getchar();
        while(!isdigit(c)) f|=(c==45),c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+(c^48),c=getchar();
        return f?-x:x; 
    }
    il void wt(int x){
        if(x<0) x=-x,putchar(45);
        if(x>=10) wt(x/10);
        return putchar(x%10+48),void();
    }
} using namespace Q;

cs int N=1e5+1,M=2e5+1;
int n,m,u[M],v[M],deg[N],t[N];
vector<int> e[N];

il int calc(){
    ri int as=0;
    for(ri int i=1;i<=m;++i){
        if(deg[u[i]]<deg[v[i]]) e[u[i]].push_back(v[i]);
        else if(deg[u[i]]>deg[v[i]]) e[v[i]].push_back(u[i]);
        else{
            if(u[i]<v[i]) e[u[i]].push_back(v[i]);
            else e[v[i]].push_back(u[i]);
        }
    }
    for(ri int i=1;i<=n;++i){
        for(ri int vi:e[i]) t[vi]=i;
        for(ri int vi:e[i]){
            for(ri int w:e[vi]){
                if(t[w]==i) as++;
            }
        } 
    }
    return as;
}

signed main(){
    n=rd(),m=rd();
    for(ri int i=1;i<=m;++i){
        u[i]=rd(),v[i]=rd();
        deg[u[i]]++,deg[v[i]]++;
    } 
    wt(calc());
    return 0;
}

也可以枚举边 $(u \to v)$ ，判断是否存在点 $w$ ，满足同时存在边 $(u \to w)$ ， $(v \to w)$ （ps：但是慢很多）

il int calc(){
    ri int s=0;
    for(ri int i=1,u,v;i<=m;++i){
        u=o[i].u,v=o[i].v;
        if(deg[u]<deg[v]) e[u].push_back(v);
        else if(deg[u]>deg[v]) e[v].push_back(u);
        else{
            if(u<v) e[u].push_back(v);
            else e[v].push_back(u);
        }
    }
    for(ri int i=1,u,v;i<=m;++i){
        u=o[i].u,v=o[i].v;
        for(ri int q:e[u]) vs[q]=i;
        for(ri int q:e[v]) if(vs[q]==i) s++;
    }
    return s;
}

code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define cs const
#define ri register
#define int long long
using namespace std;

namespace Q{
    il int rd(){
        ri int x=0;ri bool f=0;ri char c=getchar();
        while(!isdigit(c)) f|=(c==45),c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+(c^48),c=getchar();
        return f?-x:x;
    }
    il void wt(int x){
        if(x<0) x=-x,putchar(45);
        if(x>=10) wt(x/10);
        return putchar(x%10+48),void();
    }
} using namespace Q;

cs int N=1e5+1;
int n,m,as,deg[N],vs[N];
struct qwq{
    int u,v;
}o[N<<1];
vector<int> e[N];

il int calc(){
    ri int s=0;
    for(ri int i=1,u,v;i<=m;++i){
        u=o[i].u,v=o[i].v;
        if(deg[u]<deg[v]) e[u].push_back(v);
        else if(deg[u]>deg[v]) e[v].push_back(u);
        else{
            if(u<v) e[u].push_back(v);
            else e[v].push_back(u);
        }
    }
    for(ri int i=1,u,v;i<=m;++i){
        u=o[i].u,v=o[i].v;
        for(ri int q:e[u]) vs[q]=i;
        for(ri int q:e[v]) if(vs[q]==i) s++;
    }
    return s;
}

signed main(){
    n=rd(),m=rd();
    for(ri int i=1;i<=m;++i){
        o[i]={rd(),rd()};
        deg[o[i].u]++,deg[o[i].v]++;
    } 
    wt(calc());
    return 0;
}