中国剩余定理（CRT）

CRT

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组

\[\begin{cases} x \equiv r_1\ ({\rm mod}\ p_1) \\ x\equiv r_2\ ({\rm mod}\ p_2) \\ ... \\ x \equiv r_n\ ({\rm mod}\ p_n)\end{cases} \]

其中 \(p_1, p_2 ... p_n\)两两互质

结论

1 . 计算所有模数的积 \(n\) ；

2 . 对于第 \(i\) 个方程：

• 计算 \(m_i=\frac{n}{n_i}\) ；
• 计算 \(m_i\) 在模 \(n_i\) 意义下的逆元 \(m_i^{-1}\) ；
• 计算 \(c_i=m_i \cdot m_i^{-1}\)（不要对 \(n_i\) 取模）。

3 . 方程组在模 n 意义下的唯一解为：\(x=\sum_{i=1}^k a_i \cdot c_i \pmod n\) 。

il int crt(int a[],int n[],int k){
    int x=0,N=1;
    for(ri int i=1;i<=k;++i) N*=n[i];
    for(ri int i=1,m,inv,y;i<=k;++i){
        m=N/n[i];
        exgcd(m,n[i],inv,y);
        inv=(inv%n[i]+n[i])%n[i];
        x=(x+a[i]*m*inv%N)%N;
    }
    return (x%N+N)%N;
}

code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ri register
#define cs const
#define int __int128
using namespace std;
cs int MAXN=15;
il int rd(){
    ri int x=0,f=1;
    ri char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-f;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
il void wt(int x){
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    if(x>9) wt(x/10);
    return putchar(x%10+48),void();
}
il void exgcd(cs int a,cs int b,int &x,int &y){
    if(!b) return x=1,y=0,void();
    exgcd(b,a%b,y,x);
    return y-=x*(a/b),void();
}
il int crt(int a[],int n[],int k){
    int x=0,N=1;
    for(ri int i=1;i<=k;++i) N*=n[i];
    for(ri int i=1,m,inv,y;i<=k;++i){
        m=N/n[i];
        exgcd(m,n[i],inv,y);
        inv=(inv%n[i]+n[i])%n[i];
        x=(x+a[i]*m*inv%N)%N;
    }
    return (x%N+N)%N;
}
signed main(){
    int n=0,a[MAXN]={0},b[MAXN]={0};
    n=rd();
    for(ri int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=rd(),b[i]=rd();
    }
    int ans=crt(b,a,n);
    wt(ans);
    return 0;
}

exCRT

对于\(p_1, p_2 ... p_n\)不一定互质的情况就需要用到 exCRT

结论

两个方程

1 . 设两个方程分别是 \(x\equiv a_1 \pmod {m_1}\)、\(x\equiv a_2 \pmod {m_2}\) ；
2 . 将它们转化为不定方程：\(x=m_1 \cdot p+a_1=m_2 \cdot q+a_2\) ，其中 \(p, q\) 是整数，则有 \(m_1 \cdot p-m_2 \cdot q=a_2-a_1\) 。
3 . 由裴蜀定理，当 \(a_2-a_1\) 不能被 \(\gcd(m_1,m_2)\) 整除时，无解；
4 . 其他情况下，可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 \((p, q)\)；
5 . 则原来的两方程组成的模方程组的解为 \(x\equiv b\pmod M\)，其中 \(b=m_1 \cdot p+a_1，M=\text{lcm}(m_1, m_2)\) 。

多个方程

用上面的方法两两合并即可。

il int excrt(int a[],int b[],int n){
    int a1=a[1],b1=b[1];
    for(ri int i=2,x,y;i<=n;++i){
        exgcd(b1,b[i],x,y);
        if((a[i]-a1)%gcd){printf("No solution");return 0;}
        x=((x*((a[i]-a1)/gcd))%(b[i]/gcd)+(b[i]/gcd))%(b[i]/gcd);
        a1=(a1+x*b1)%(b1*b[i]/gcd),b1*=b[i]/gcd;
    }
    return a1;
}

code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ri register
#define cs const
#define F(s) freopen(#s".in","r",stdin),freopen(#s".out","w",stdout); 
#define int __int128
using namespace std;
il int rd(){
    ri int x=0;
    ri char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+(c^48),c=getchar();
    return x;
}
il void wt(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) wt(x/10);
    return putchar(x%10+48),void();
}
int gcd;
il void exgcd(cs int a,cs int b,int &x,int &y){
    if(!b) return x=1,y=0,gcd=a,void();
    return exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x,void();
}
il int excrt(int a[],int b[],int n){
    int a1=a[1],b1=b[1];
    for(ri int i=2,x,y;i<=n;++i){
        exgcd(b1,b[i],x,y);
        if((a[i]-a1)%gcd){printf("No solution");return 0;}
        x=((x*((a[i]-a1)/gcd))%(b[i]/gcd)+(b[i]/gcd))%(b[i]/gcd);
        a1=(a1+x*b1)%(b1*b[i]/gcd),b1*=b[i]/gcd;
    }
    return a1;
}
cs int N=1e5+5;
int n,a[N],b[N];
signed main(){
    n=rd();
    for(ri int i=1;i<=n;++i) a[i]=rd(),b[i]=rd();
    wt(excrt(b,a,n));
    return 0;
}

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