线性基

线性基

线性基是线性空间的一组基，是研究线性空间的重要工具。

插入

设插入\(k\)，\(k\)的最高位为\(l\)

• 若线性基的第\(l\)位为\(0\)，则直接在该位插入\(k\)，结束
• 若线性基的第\(l\)位已经有值\(base_i\)，则\(x = x\oplus a_i\)，重复上述操作。（\(\oplus\)表示异或）

int base[N+1];
il void insert(int k){
    for(ri int l=N;~l;--l){
        if(k>>l){
            if(!base[l]){base[l]=k;break;}
            k^=base[l];
        }
    }
    return;
}

同理可判断能否通过原数列异或得到一个数\(k\)

il bool check(int k){
    for(ri int l=N;~l;--l){
        if(k&(1<<l)){
            if(!base[l]) return 0;
            k^=base[l];
        }
    }
    return 1;
}

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查询异或最值

• 查询最小值：考虑插入的过程，因为每一次跳转操作，xx的二进制最高位必定单调降低，所以不可能插入两个二进制最高位相同的数。而此时，线性基中最小值异或上其他数，必定会增大。所以，直接输出线性基中的最小值即可。
• 异或最大值：从高到低遍历线性基，考虑到第\(l\)位时，如果当前的答案\(as\)第\(l\)位为\(0\)，就将\(as\)异或上\(base_i\)；否则不做任何操作。显然，每次操作后答案不会变劣，最终的\(as\)即为答案。

il int ask_min(){
    for(ri int l=0;l<=N;++l){
        if(base[l]) return base[l];
    }
    return -1;
}  
il int ask_max(){
    int as=0;
    for(ri int l=N;~l;--l){
        as=max(as,as^base[l]);
    } 	
    return as;
}

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code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define cs const
#define ri register
#define int long long
using namespace std;
cs int N=55;
il int rd(){
    ri int x=0,f=1;ri char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+(c^48),c=getchar();
    return x*f; 
}
il void wt(int x){
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    if(x>=10) wt(x/10);
    return putchar(x%10+48),void();
} 
int base[N],as;
signed main(){
    for(ri int i=rd();i;--i){
        int a=rd();
        for(ri int l=N;~l;--l){
            if(a>>l){
                if(!base[l]) {base[l]=a;break;}
                a^=base[l];
            }
        }
    }
    for(ri int l=N;~l;--l) as=max(as,as^base[l]);
    wt(as);
    return 0;
} 

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