欧拉函数及相关定理

欧拉函数（Euler's totient function），即

φ (n)

，表示的是小于等于

n

和

n

互质的数的个数。

欧拉函数

定义

$φ (n)$ 表示小于等于 $n$ 的与 $n$ 互质的数的个数。

性质

$φ$ 为积性函数，即 $φ (a \cdot b) = φ (a) \cdot φ (b)$ $(a ⊥ b)$
根据定义可知， $φ (p) = p - 1$ $(p \in p r i m e)$
根据定义可知， $φ (p^{k}) = p^{k} - p^{k - 1}$
由第一分解定理，设 $n = \prod_{i = 1}^{r} p_{i}^{k_{i}}$ ， $φ (n) = n \cdot \prod_{i = 1}^{r} \frac{p_{i} - 1}{p_{i}} = n \cdot \prod_{i = 1}^{r} (1 - \frac{1}{p_{i}})$
$n = \sum_{d | n} φ (d)$

欧拉定理

若 $gcd (a, b) = 1$ ，则 $a^{φ (b)} \equiv 1 (\mod b)$

当 $b \in p r i m e$ ， $a^{b - 1} \equiv 1 (\mod b)$ 就是费马小定理

扩展欧拉定理

a^{b} \equiv {\begin{cases} a^{b \mod φ (p)} & gcd (a, p) = 1 \\ a^{b} & gcd (a, p) \neq 1, b \leq φ (p) \\ a^{b \mod φ (p) + φ (p)} & gcd (a, p) \neq 1, b > φ (p) \end{cases} (\mod p)

一些模板

线性筛欧拉函数

int ss[N],cnt,vs[N],fi[N];
il void init(int n){
    fi[1]=1;
    for(ri int i=2;i<=n;++i){
        if(!vs[i]) ss[++cnt]=i,fi[i]=i-1;
        for(ri int j=1;j<=cnt&&ss[j]*i<=n;++j){
            vs[i*ss[j]]=1;
            if(i%ss[j]) fi[i*ss[j]]=fi[i]*fi[ss[j]];
            else{fi[i*ss[j]]=fi[i]*ss[j];break;}
        }
    }
    return;
}

求一个数的欧拉函数

il int fi(int n){
    int as=n,res=n;
    for(ri int i=2;i*i<=res;++i){
        if(res%i==0){
            while(res%i==0) res/=i;
            as=as/res*(res-1);
        }
    }
    if(res>1) as=as/res*(res-1);
    return as;
}