欧拉函数及相关定理

欧拉函数

定义

$\varphi(n)$ 表示小于等于$n$的与$n$互质的数的个数。

性质

$\varphi$为积性函数，即$\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot\varphi(b)$ $(a\perp b)$
根据定义可知，$\varphi(p)=p-1 $ $(p\in prime)$
根据定义可知，$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}$
由第一分解定理，设$n=\prod_{i=1}^r p_i^{k_i}$ ，$\varphi(n)=n\cdot\prod_{i=1}^r\frac{p_i-1}{p_i}=n\cdot\prod_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})$
$n=\sum_{d|n}\varphi(d)$

欧拉定理

若$\gcd(a,b)=1$，则$a^{\varphi(b)}\equiv 1\pmod b$

当$b\in prime$， $a^{b-1}\equiv 1\pmod b$就是费马小定理

扩展欧拉定理

\[a^b\equiv\begin{cases} a^{b\mod\varphi(p)} &\gcd(a,p)=1\\ a^b &\gcd(a,p)\ne1,b\le\varphi(p)\\ a^{b\mod\varphi(p)+\varphi(p)} &\gcd(a,p)\ne1,b>\varphi(p) \end{cases}\pmod p \]

一些模板

线性筛欧拉函数

int ss[N],cnt,vs[N],fi[N];
il void init(int n){
    fi[1]=1;
    for(ri int i=2;i<=n;++i){
        if(!vs[i]) ss[++cnt]=i,fi[i]=i-1;
        for(ri int j=1;j<=cnt&&ss[j]*i<=n;++j){
            vs[i*ss[j]]=1;
            if(i%ss[j]) fi[i*ss[j]]=fi[i]*fi[ss[j]];
            else{fi[i*ss[j]]=fi[i]*ss[j];break;}
        }
    }
    return;
}

求一个数的欧拉函数

il int fi(int n){
    int as=n,res=n;
    for(ri int i=2;i*i<=res;++i){
        if(res%i==0){
            while(res%i==0) res/=i;
            as=as/res*(res-1);
        }
    }
    if(res>1) as=as/res*(res-1);
    return as;
}