【等距螺旋的七个实验】实验五：螺旋公式的一些讨论
若将螺旋看做是直线运动与圆周运动的叠加，每个旋转周期，直线上移动相同的距离，这样得到的螺旋曲线可以统称为等距螺旋。
【等距螺旋的公式】
等距螺旋公式是从风螺旋公式引用而来，它根据直线运动速度w，圆周运动速度v，以及直线与圆周的位置关系DA（sinDA= D/r）来表示。
【等距螺旋的互补特性】
由于旋转的方向会对螺旋的形态造成影响，对于任一条螺旋，都可以找到一条与它的旋转方向相反、位置互补的螺旋。
图1 互补的两条螺旋
【等距螺旋的外扩效率比较】
等距螺旋公式是从风螺旋公式引用而来，风螺旋仅使用基圆以外的部分，因此，𝝷角度的零点对应的是直线与圆周的交点，即当𝝷角为零时，ρ=r。
ICAO规范中，风螺旋是w<v条件下外扩效率最高的螺旋，下面通过实验的方法进行验证。
首先按照风螺旋的角度关系DA=arcSin(w/v),按照公式二绘图，风螺旋的互补螺旋按照公式三加上Pi来绘制，二者在不进行角度修正的情况下，可以得到下面的图形：
图2 第一组螺旋
图中逆时针角度增大，水平向右为x轴的零度轴。有两条螺旋穿过基圆的零度角位置，它们分别是蓝色的风螺旋、橘色的风螺旋的互补螺旋。在角度增大的正向区间内（图中逆时针方向角度增大），风螺旋的外扩效率是大于它的互补螺旋的。
图中还可以看到，基圆内螺旋的变化形式更加的丰富。由于等距螺旋公式在角度小于零的区间里存在突变点，上图中分用用红色绘制了风螺旋在突变点之后的部分，用品红色绘制了互补螺旋在突变点之后的部分。突变点对应的角度为-v/(w*CosDA)，仍然是基于速度比得到的一个数字。
[关于速度比的补充内容]
等距螺旋中的速度比在计算中多次出现，未来如果将速度比简化为一个单一参数，对于理解将会造成较大的困难。
[关于突变点的补充内容]
渐开线中的DA角为90度，突变点的计算不适用于渐开线。实际上，当DA角开始接近90时，突变点会渐渐远离圆心。在渐开线条件下，突变点位于1/0（1除以零）的位置，也可以说，渐开线中不存在突变点。
[实验继续。。。。]
采用相的方法，将阿基米德螺旋(DA=0)与它的互补螺旋按照零点处重合，会得到下面的图形：
图3 第二组螺旋
由于阿基米德螺旋与它的互补螺旋形状完全相同，角度相差180度，因此，上图中采用将其中一条螺旋用黄色虚线来表示，另一条螺旋用蓝色实线来表示，叠加之后，显示为黄、蓝相间的螺旋。
在速度比（w/v）相同的条件下，将风螺旋、阿基米德螺旋，以及风螺旋的互补螺旋叠加起来看，从圆周向外，外扩效率较小的是互补螺旋、然后是阿基米德螺旋，风螺旋的外扩效率最大。
图4 两组螺旋的叠加
改变DA角的大小，从-90°到90°，可以看到，DA=arcSin（w/v）时的蓝色风螺旋始终位于第一象限的最外侧，即外扩效率最大。
【逆向螺旋的简便实现】
等距螺旋穿越基圆之后，形态上表现为从收缩阶段进入到外扩阶段，螺旋从顺时针外扩向逆时针外扩转变，或者相反。顺、逆时针的螺旋是一体两面的，如果用数学表达式来看是𝝷-𝞫与𝝷+𝞫的关系。这种计算关系下，对于逆向螺旋的计算是不方便的，并且有出现突变点的可能。
通过观察可以发现，“完整”的螺旋是可以看做轴对称图形的，上图中过圆心的竖线就是一条对称轴。从对称轴向外量取α或-α可以分别得到外扩方向相反的螺旋。
在计算时，以零度轴为对称轴，若α表示逆时针外扩的螺旋，则-α即表示顺时针外扩的螺旋（基圆以内的部分，除非必需，尽量不要纳入到计算中去）。
图6 两条相逆的风螺旋
【等距螺旋公式的其它可能】
现有的等距螺旋公式是从风螺旋计算而来，也是主用于风螺旋计算的，它的起点是圆周与直线的交点。
常见的螺旋计算通过都是从圆心或近地点（渐开线与圆周相切的一点）开始做为角度的起点。通过等距螺旋的分析可以知道，直线运动不过圆心同样可以形成螺旋。那么如果按照近地点来建立公式，对于等距螺旋来说，只是初始值发生了改变，突变点的情况仍将存在。
在实验四中已经提到，从圆周运动到圆心，共需要经历的旋转角度为v*cosDA/w（弧度单位），这个角度与突变点角度的表达式-v/(w*CosDA)非常像，但它们是完全不同的内容。
数学就是这么奇妙，v、w、cosDA三个数来回变换，总在反复出现，却又不同。如果w,v尚可以用速度比来简化w/v，DA是无论如何也简化不掉的，除非引入直线与圆心的距离D，再用D/r=sinDA来得到DA角。
国外公司将DA称为Delay Angle（滞后角），领航学将DA称为Drift Angle（偏流角），等距螺旋里把它叫D-Angle（D角）好了，表示直角边D所对应的角度。
直接从近地点建立角度计算关系时，起点用-v*cosDA/w来表示，经过角度修正后效果如下：
图7 从近地点开始绘制的风螺旋
图上的数字Out[1833]表示该图是第1833次的计算结果，通过现代化的软件，实验的效率真得可以很高。今天的代码写的也有点长，第五次实验到此结束，谢谢大家！
附上Mathematic软件中的实验代码，仅供参考。
初始设定部分：
前两组螺旋的显示代码
第五组的角度修正比较复杂，一并附上，其它的不再重复。
等距螺旋是螺旋概念上的一次升级，最大的困难不是数学上的限制，而是我们对于自身想像力的突破。主席曾说过，星星之火可以燎原，期待等距螺旋成为改变螺旋认知的那一点星星之火，照亮未来漫漫的星际之路。
