算法导论 9.3-8 求两个数组的中位数

一、题目

设X[1..n]和Y[1..n]为两个数组，每个都包含n个已排好序的数，给出一个求数组X和数组Y中所有2n个元素的中位数的O(lgn)时间的算法

二、思路

递归求解该问题，解题规模不断减半，最后剩下4个元素时，得到问题的解，

本文求的是下中位数，下中位数的特点是：

（1）当n为奇数，令n = 2 * m + 1，下中位数是第m+1小的数，数组中有m个数小于下中位数，有m个数大于下中位数。当数组中的一个数满足以下特点中的任意一个时，认为该数不是下中位数：a.至少有m+1个数比x大b.到少有m+1个数比x小

（2）当n为偶数，令n = 2 * m，下中位数是第m+1小的数，数组中有个m个数小于下中位数，有m-1个数大于下中位数。当数组中的一个数满足以下特点中的任意一个时，认为该数不是下中位数：a.至少有m个数比x大b.到少有m+1个数比x小

令Na为数组A中元素的个数，Nb为数组B中元素的个数，Ma是数组A中的下中位数，数组Mb是B中的下中位数，a=Na/2，b=Nb/2 。它们满足以下关系

（1）Na和Nb初始时相等，经过对数组的处理后，依然相等，奇偶性相同，同理a和b也始终相等

（2）Ma和Mb的大小不确定，本文例举了Ma>Mb的处理方法

可以把问题分为以下两种情况：

（1）Na和Nb都是偶数，令Na=2*a，Nb=2*b，a=b，Ma>Mb（初始情况）

分析：

在数组A中有a个数字小于Ma，有a-1个数字大于Ma

在数组B中有b个数字小于Mb，有b-1个数字大于Mb

Ma>Mb =====> 大于Ma的数字都大于Mb，小于Mb的数字都小于Ma

=====> A和B中至少有a+b+1个数字小于Ma，至少有a+b-1个数字大于Mb

=====>所有大于Ma（不包括Ma）的数字都不是中位数，所有小于Mb（不包括Mb）的数字都不是中位数

=====>A[1..Na] -> A[1..a+1]，B[1..Nb] -> B[b+1..Nb]

（2）Na和Nb都是偶数，令Na=2*a+1，Nb=2*b+1，a=b，Ma>Mb（初始情况）

分析：

在数组A中有a个数字小于Ma，有a个数字大于Ma

在数组B中有b个数字小于Mb，有b个数字大于Mb

Ma>Mb =====> 大于Ma的数字都大于Mb，小于Mb的数字都小于Ma

=====> A和B中至少有a+b+1个数字小于Ma，至少有a+b+1个数字大于Mb

=====>所有大于Ma（不包括Ma）的数字都不是中位数，所有小于Mb（包括Mb）的数字都不是中位数

=====>A[1..Na] -> A[1..a+1]，B[1..Nb] -> B[b+1..Nb]

经过上文中的分析，最终算法过程如下：

Step1：分别求出两个数组的中值midA和midB，比较midA和midB的大小

Step2：如果midA=midB，那么这个值就是这（nA+nB）个数中的中位数

Step3：如果midA < midB，A[1..Na] -> A[a+1..Na]，B[1..Nb] -> B[1..b]，递归地对两个新的数组求中位数。

Step4：如果midA > midB，A[1..Na] -> A[1..a]，B[1..Nb] -> B[b+1..Nb]，递归地对两个新的数组求中位数。

Step5：反复Step1-Step4中的递归操作，直到两个数组剩下的元素一共不超过4个，直接对这4个元素求中位数。

三、代码

(1)初始数据无序版本

//9.3-8
#include <iostream>
using namespace std;

void Print(int *A, int s, int e)
{
    int i;
    for(i = s; i <= e; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
}
//最坏情况线性时间的选择
//已经出现很多次了，不解释
int Partition(int *A, int p, int r)
{
    int x = A[r], i = p-1, j;
    for(j = p; j < r; j++)
    {
        if(A[j] <= x)
        {
            i++;
            swap(A[i], A[j]);
        }
    }
    swap(A[i+1], A[r]);
    return i+1;
}
int Select(int *A, int p, int r, int i);
//对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值
//插入排序很简单，不解释
int Insert(int *A, int start, int end, int k)
{
    int i, j;
    for(i = 2; i <= end; i++)
    {
        int t = A[i];
        for(j = i; j >= start; j--)
        {
            if(j == start)
                A[j] = t;
            else if(A[j-1] > t)
                A[j] = A[j-1];
            else
            {
                A[j] = t;
                break;
            }
        }
    }
    return A[start+k-1];
}
//根据文中的算法，找到中值的中值
int Find(int *A, int p, int r)
{
    int i, j = 0;
    int start, end, len = r - p + 1;
    int *B = new int[len/5+1];
    //每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值
    for(i = 1; i <= len; i++)
    {
        if(i % 5 == 1)
            start = i+p-1;
        if(i % 5 == 0 || i == len)
        {
            j++;
            end = i+p-1;
            //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5
            int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1);
            //把每一组的中值挑出来形成一个新的数组
            B[j] = ret;    
        }
    }
    //对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值
    int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2);
    //delete []B;
    return ret;
}
//以f为主元的划分
int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
{
    int i;
    //找到f的位置并让它与A[r]交换
    for(i = p; i < r; i++)
    {
        if(A[i] == f)
        {
            swap(A[i], A[r]);
            break;
        }
    }
    return Partition(A, p, r);
}
//寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始
int Select(int *A, int p, int r, int i)
{
    //如果数组中只有一个元素，则直接返回
    if(p == r)
        return A[p];
    //根据文中的算法，找到中值的中值
    int f = Find(A, p, r);
    //以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置
    //因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r]
    int q = Partition2(A, p, r, f);
    //转换为中值在在数组A[p..r]中的位置
    int k = q - p + 1;
    //与所寻找的元素相比较
    if(i == k)
        return A[q];
    else if(i < k)
        return Select(A, p, q-1, i);
    else
        //如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写
        return Select(A, q+1, r, i-k);
        //但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1)
}
int SelectMid(int *A, int start, int end)
{
    return Select(A, start, end, (end-start+1)/2+1);
}
//返回abcd中第二小的数，已经a<b,c<d
int GetRet(int a, int b, int c, int d)
{
    if(a < c)
    {
        if(c < b)
            return min(b, d);
        return c;
    }
    else
    {
        if(a < d)
            return min(b, d);
        return a;
    }
}
//算法过程
int solve(int *A, int *B, int n)
{
    int ret;
    int startA = 1, startB = 1, endA = n, endB = n;
    while(1)
    {
        if(endA == startA)
            return max(A[startA], B[startB]);
        //如果只剩下4个元素，返回4个元素中第2小的元素
        if(endA - startA == 1)
        {
            ret = GetRet(A[startA], A[endA], B[startB], B[endB]);
            break;
        }
        //分别求得A和B中的中值，这里处理的情况是A和B不是排序的
        //如果A和B是已经排序的，只需mid=A[(start+end)/2]就可以求得中值
        int midA = SelectMid(A, startA, endA);
        int midB = SelectMid(B, startB, endB);
//        cout<<midA<<' '<<midB<<endl;
//        Print(A, startA, endA);
//        Print(B, startB, endB);
        //SELECT算法包含划分的过程，所以可以直接截去不需要一半
        //去掉数组A的前一半和数组B的后一半，注意保证去掉后AB的数组元素个数相等
        if(midA == midB)
        {
            ret = midA;
            break;
        }
        //去掉A的前半和数组B的后半，注意截后两个数组的元素相等
        else if(midA < midB)
        {
            startA = startA + (endA - startA + 1) / 2;
            endB = endB - (endB - startB + 1) / 2;
        }
        //去掉B的前半和数组A的后半，注意截后两个数组的元素相等
        else
        {
            endA = endA - (endA-startA + 1) / 2;
            startB = startB + (endB - startB + 1) / 2;
        }
//        Print(A, startA, endA);
//        Print(B, startB, endB);
    }
    return ret;
}
//测试算法过程
int main()
{
    int n, i;
    while(cin>>n)
    {
        int *A = new int[n+1];
        int *B = new int[n+1];
        //生成随机数据
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            A[i] = rand() % 100;
            B[i] = rand() % 100;
        }
        //打印生成的数据
        Print(A, 1, n);
        Print(B, 1, n);
        //算法过程
        int ret = solve(A, B, n);
        //输出结果
        cout<<ret<<endl;
        delete A;
        delete B;
    }
    return 0;
}

（2）初始数据有序版本

//9.3-8
#include <iostream>
using namespace std;

#include <algorithm>
bool cmp(int a, int b)
{
    return a < b;
}

void Print(int *A, int s, int e)
{
    int i;
    for(i = s; i <= e; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
}

//返回abcd中第二小的数，已经a<b,c<d
int GetRet(int a, int b, int c, int d)
{
    if(a < c)
        return min(b, c);
    else
        return min(a, d);
}
int main()
{
    while(1)
    {
    int n, i;
    cin>>n;
    int *A = new int[n+1];
    int *B = new int[n+1];
    //生成随机数据
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        A[i] = rand() % 100;
        B[i] = rand() % 100;
    }
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
//        cin>>A[i];
    }
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
//        cin>>B[i];
    }
    sort(A+1, A+n+1, cmp);
    sort(B+1, B+n+1, cmp);
    //打印生成的数据
    Print(A, 1, n);
    Print(B, 1, n);

    int ret;
    int startA = 1, startB = 1, endA = n, endB = n;
    while(1)
    {
        //如果只剩下4个元素，返回4个元素中第2小的元素
        if(endA - startA == 1)
        {
            ret = GetRet(A[startA], A[endA], B[startB], B[endB]);
            break;
        }
        //分别求得A和B中的中值
        int midA = A[(startA+endA)/2];
        int midB = B[(startB+endB)/2];
//        cout<<midA<<' '<<midB<<endl;
//        Print(A, startA, endA);
//        Print(B, startB, endB);
        //去掉数组A的前一半和数组B的后一半，注意保证去掉后AB的数组元素个数相等
        if(midA == midB)
        {
            ret = midA;
            break;
        }
        //去掉A的前半和数组B的后半，注意截后两个数组的元素相等
        else if(midA < midB)
        {
            startA = (startA + endA) / 2;
            endB = endB - (endB-startB) / 2;
        }
        //去掉B的前半和数组A的后半，注意截后两个数组的元素相等
        else
        {
            endA = endA - (endA-startA) / 2;
            startB = (startB + endB) / 2;
        }
//        Print(A, startA, endA);
//        Print(B, startB, endB);
    }
    //输出结果
    cout<<ret<<endl;
    }
//    getchar();
//    getchar();
    return 0;
}

四、测试