2.6 Determinant Formulas and Cofactors

行列式公式和代数余子式

reference的内容为唯一教程，接下来的内容仅为本人的课后感悟，对他人或无法起到任何指导作用。

Reference

1. Course website: Determinant Formulas and Cofactors | Unit II: Least Squares, Determinants and Eigenvalues | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
2. Course video: 【完整版-麻省理工-线性代数】全34讲 配套教材_哔哩哔哩_bilibili
3. Course summary: Lecture 19: Determinant formulas and cofactors (mit.edu)

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这一节我感觉可以稍稍快进了，因为我第一次学就是直接从行列式的代数余子式公式开始背，然后推行列式的各个性质，由于这样十分痛苦，我不得不强行记住了代数余子式，以至于回过头来看这部分竟然是我最熟悉的部分了...

行列式只是线性代数中很小的一个部分，分支罢了，不应该放到第一章直接给人打击！

Big Formula

行列式可以由三个基本性质完备定义:

• 单位阵行列式为 1
• 互换两行, 行列式变号
• 行列式对每一行具有单独的线性性质 (倍乘, 加和)

2 × 2 & 3 × 3

首先分析 2×2 矩阵, 根据三个基本性质很容易推出行列式公式:

\[\begin{align*} \begin{vmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a & 0\\ c & d\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & b\\ c & d\\ \end{vmatrix}\\ &=(\begin{vmatrix} a & 0\\ 0 & d\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a & 0\\ c & 0\\ \end{vmatrix})+ ( \begin{vmatrix} 0 & b\\ c & 0\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & b\\ 0 & d\\ \end{vmatrix})\\ &=\begin{vmatrix} a & 0\\ 0 & d\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & b\\ c & 0\\ \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a & 0\\ 0 & d\\ \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} b & 0\\ 0 & c\\ \end{vmatrix}\\ &=ad-bc \end{align*} \]

我们通过先对第一行进行拆解，得到两个行列式的和。再对两个行列式的第二行进行拆解，得到了 2*2=4 个行列式的和，这里面有两个出现全零行，只有两个行列式有值 (因为行交换一定会出现对角阵), 然后我们分析交换了几次判定奇偶即可.

同理 3×3 也是这个道理, 先对第一行拆解, 再对第二行拆解, 最后拆到第三行, 所以一共有 3³ 个行列式, 其中每行只有一个元素, 因此如果想让列不出现全零, 每一列也必须只能有一个元素, 也就是说第一行选完的列第二行不能再选了, 因此有 3! 种组合. 其实这相当于置换, 置换也是 3! 个.

设矩阵为 A, 元素为 a_ij, 则行列式为:

\[a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \]

n × n

于是我们可以归纳任意矩阵的行列式了

\[\det\boldsymbol{A}=\sum_{n! \text{ terms}}\pm a_{1\alpha }a_{2\beta }\cdots a_{n\omega } \]

其中 \((\alpha, \beta, \cdots, \omega)\) 为 \((1, 2, \cdots, n)\) 的置换.

Example 1

相对来说最简单的行列式求法仍然是消元法, 不过上面的公式有时也能为求解行列式带来方便. 比如:

\[\begin{vmatrix} 0 &0 &1 &1 \\0 &1 &1 &0 \\1 &1 &0 &0 \\1 &0 &0 &1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 &0 &0 &1 \\0 &0 &1 &0 \\0 &1 &0 &0 \\1 &0 &0 &0 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 &0 &1 &0 \\0 &1 &0 &0 \\1 &0 &0 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{vmatrix} \]

如果采用消元法很难一眼看出来结果, 但是有了上面的式子我们就知道只有这两种矩阵才可能非零, 其余矩阵必然出现列全零的情况, 这两个是仅有的置换. 左面的需要交换 1,4 和 2,3 行, 右面只需要交换 1,3 行, 所以符号相反, 行列式为零.

所以这个矩阵不可逆, 因为第一列+第三列=第二列+第四列.

Cofactor Formula

我实在懒得介绍 代数余子式 (Cofactor) 和 余子式 (Minor) 了, 如果学了一遍线代一定知道这是什么了. Lecture 中从 3阶行列式的公式开始讨论, 得到代数余子式的概念.

\[\det\boldsymbol{A}=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in},\quad C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \]

这是按行展开的, 由于转置行列式不变, 因此按列展开的也可以写成类似的形式, -1 的乘幂仍然为 i+j.

Example 2

懒得写了, 直接看图, 就是一个利用递推的行列式...

Summary

行列式公式, 就是一个烦人的公式, 老实说我不知道用一些奇淫技巧求一些行列式能有什么用, 也不知道能从这个公式看出些什么东西来, 大概就是锻炼智商吧... 结果学一圈发现求行列式真的没什么用, 但是大一学的时候却搞得很难, 各种奇奇怪怪的行列式和证明要求掌握, 很是痛苦...