2.5 Properties of Determinants 阅读笔记

行列式的性质

reference的内容为唯一教程，接下来的内容仅为本人的课后感悟，对他人或无法起到任何指导作用。

Reference

  1. Course website: Properties of Determinants | Unit II: Least Squares, Determinants and Eigenvalues | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
  2. Course video: 【完整版-麻省理工-线性代数】全34讲 配套教材_哔哩哔哩_bilibili
  3. Course summary: Lecture 18: Properties of determinants (mit.edu)
  4. Extra Reading: Section 5.1 in Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition by Gilbert Strang.
  5. Extra videos (3Blue1Brown):
    1. The determinant | Chapter 6, Essence of linear algebra - YouTube

本节开始介绍行列式 (Determinant), 行列式是一个能反映矩阵一些性质的值, 学了行列式就可以研究特征值和特征向量了. 注意: 必须是方阵!

符号上我们采用这种方式表示:

\[\det(\boldsymbol{A})=\left | \boldsymbol{A} \right | \]

Three Basic Properties

首先介绍行列式的三个基本性质，这三个基本性质奠定了对行列式其余性质的研究与行列式公式的定义。这门课和国内上来堆公式后反推行列式的性质不同，采取先研究性质再推公式，感觉会更让人明白。

  1. 单位矩阵的行列式为 1

  2. 进行一次行变换，将会使行列式符号变号

以上两个性质可以推出什么呢？对单位矩阵进行数次行变换得到的是置换矩阵，因此置换矩阵的值只会是 ±1。

  1. 行列式是每一行单独的线性函数

\[\begin{align*} \begin{vmatrix} t(v_{11}+v_{11}') & \cdots & t(v_{1n}+v_{1n}')\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n1} & \cdots & v_{nn} \end{vmatrix} &=t\begin{vmatrix} (v_{11}+v_{11}') & \cdots & (v_{1n}+v_{1n}')\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n1} & \cdots & v_{nn} \end{vmatrix}\\ &=t(\begin{vmatrix} v_{11} & \cdots & v_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n1} & \cdots & v_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} v_{11}' & \cdots & v_{1n}'\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n1} & \cdots & v_{nn} \end{vmatrix}) \end{align*} \]

注意对每一列是线性的但是这个公式不成立！\(\det(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\ne \det(\boldsymbol{A})+\det(\boldsymbol{B})\)

还有一个衍生结论: \(\det(k\boldsymbol{A})=k^n\det(\boldsymbol{A})\)

其实这三个性质已经可以表示出任意方阵的行列式了, 为什么呢? 看看接下来由三个基本性质推出来的性质吧.

Other Properties

  1. 两行相等，则行列式为零

    因为交换相等的两行，矩阵不变但符号变，只能是0了。

  2. 消元法不改变行列式的值

    假设row k := row k - l * row i，其余行保持不变, 那么根据线性性质 3, 新的行列式为原行列式减去 l 倍原行列式第 k 行被第 i 行替换掉矩阵的行列式, 原行列式第 k 行被第 i 行替换掉说明矩阵两行相等, 行列式为零, 因此行列式值不变.

  3. 出现全零行, 行列式为零

    全零行原来可以是任意的非零行乘零, 根据性质 3 把零提出去, 行列式为零

  4. 只要是三角阵 (上下三角, 包括对角阵), 行列式为对角线乘积

    ① 分析对角阵: 根据性质 3, 显然成立

    ② 分析三角阵: 必可以通过消元法得到对角阵, 而对角线的值不变, 因此成立

由于我们可以对任意方阵施加行变换得到三角阵, 因此我们一定能求出任意方阵的行列式了! 注意: 小心行交换要变号! 不能光看最后的三角阵, 还要看中间行变换是否有交换.

  1. 行列式为零等价于矩阵奇异, 互为充要条件

    奇异矩阵行变换一定能弄出来主对角线带零的三角矩阵, 非奇异矩阵一定不会.

    这相当于说明了行列式和可逆的关系!

  2. 矩阵乘法的行列式等于行列式的乘积

    这个并不能想明白怎样直观解释了, 似乎被当成已知条件...

    衍生结论: 逆矩阵的行列式等于原行列式的倒数, 因为单位阵为矩阵和逆矩阵乘积, 同时取行列式...

  3. 矩阵和转置矩阵的行列式相等

    因此我们把行的行列式性质无缝转到列了!

    证明:

    \[\begin{align*} & \boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}\\ \Rightarrow & (\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}) \wedge (\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}^\mathrm{T}=\boldsymbol{U}^\mathrm{T}\boldsymbol{L}^\mathrm{T})\\ \Rightarrow & (\det\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=\det\boldsymbol{L}\boldsymbol{U} )\wedge (\det\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}^\mathrm{T}=\det\boldsymbol{U}^\mathrm{T}\boldsymbol{L}^\mathrm{T})\\ \end{align*} \]

    此时发现:

    \[\begin{align*} & (\det\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}=\det\boldsymbol{L}\det\boldsymbol{U})\wedge (\det\boldsymbol{U}^\mathrm{T}\boldsymbol{L}^\mathrm{T}=\det\boldsymbol{U}^\mathrm{T}\det\boldsymbol{L}^\mathrm{T})\\ \Rightarrow & \det\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}=\det\boldsymbol{U}^\mathrm{T}\boldsymbol{L}^\mathrm{T}\quad(\det\boldsymbol{U}^\mathrm{T}=\det\boldsymbol{U}, \det\boldsymbol{L}^\mathrm{T}=\det\boldsymbol{L})\\ \end{align*} \]

    因此有:

    \[\begin{align*} & \det\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=\det\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\\ \Rightarrow & \det\boldsymbol{P}\det\boldsymbol{A}=\det\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\det\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\\ \end{align*} \]

    继续分析置换矩阵, 我们已知置换矩阵和转置的乘积为单位矩阵, 于是有:

    \[\begin{align*} & (\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{I})\wedge (\det \boldsymbol{P},\det \boldsymbol{P}^\mathrm{T}=\pm 1)\\ \Rightarrow & \det\boldsymbol{P}^\mathrm{T}\det\boldsymbol{P}=\det\boldsymbol{I}=1 \\ \Rightarrow & (\det\boldsymbol{P}^\mathrm{T}=\det\boldsymbol{P}=1)\vee (\det\boldsymbol{P}^\mathrm{T}=\det\boldsymbol{P}=-1) \\ \Rightarrow & \det\boldsymbol{P}^\mathrm{T}=\det\boldsymbol{P} \\ \end{align*} \]

    因此有: \(\det\boldsymbol{A}=\det\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\)

行列式可以由前三个基本性质完备定义, 不过需要一个额外的条件得到证明: 有没有可能奇数次的行交换得到的矩阵和偶数次行交换得到的矩阵一样? 换言之奇数次置换能否等于偶数次置换? 答案是不能. 如果能的话行交换奇数次和偶数次得到一个矩阵, 但是变号次数不一样, 那就和性质 2 矛盾了.

posted @ 2022-04-14 16:21  WIND_LIKE  阅读(74)  评论(0)  编辑  收藏  举报
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