1.12 Matrix Spaces and Rank 1 Matrices 阅读笔记

“向量”空间和秩一矩阵

reference的内容为唯一教程，接下来的内容仅为本人的课后感悟，对他人或无法起到任何指导作用。

Reference

1. Course website: Matrix Spaces; Rank 1; Small World Graphs | Unit I: Ax = b and the Four Subspaces | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
2. Course video: 【完整版-麻省理工-线性代数】全34讲 配套教材_哔哩哔哩_bilibili
3. Course summary: Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs (mit.edu)
4. Extra reading: 线性代数与解析几何（第二版）5.1.7节，魏战线 李继成 编

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快考试了，感觉像复习课，在介绍矩阵空间的基础上大量复习四个基本子空间的基，维度，建议对四个基本子空间的求法烂熟于心。这一节主要举例向量空间里面的向量可能很奇怪，又讲了秩一矩阵的性质，最后讲的图的入门打算放到下一节。

New Vector Space

All 3 × 3 Matrices

假设有 $3\times 3$ 的任意矩阵集 $M$，对称矩阵集 $S$，上三角矩阵集 ${U}$，和对角矩阵集 $D$。

显然按照 1.11，这些矩阵各个都能组成 vector space，是新型的“向量空间”。

各种矩阵的基和维度的抽象派计算如下所示：

1.11 提到了 $S \cap U=D$，是子空间。那么 $S \cup U$ 是子空间吗，不是，就像是在一个过原点平面插了几条过原点的线一样，任取两个元素相加运算不封闭了。

Sum of Subspaces

于是提到了一个新的概念叫做子空间的和 (Sum)，任取子空间 $V_1$，$V_2$：

$$V_1+V_2=\{\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\mid\boldsymbol{\alpha}\in V_1,\boldsymbol{\beta}\in V_2\}$$

仍为子空间。（满足子空间的八条定律）

这个例子里，$S + U = M$

从中可以发现一个维度公式：（Lecture Summary 有问题）

$$\dim (S)+\dim (U)=\dim (S\cap U)+\dim (S+U)$$

Differential Equations

$$\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x^2}+y=0$$

的全解为 $y=c_1\cos x+c_2\sin x$，因此解空间/零空间为 $\text{span}\{\cos x,\sin x\}$，维度为2。

看起来更不像向量。

All Rank 4 Matrices

所有的秩4矩阵不构成子空间。把4阶单位阵的每一行提出来其余全0，构成4个秩为1的矩阵，相加之后得到单位阵满秩了。

秩的性质：

$$\text{rank}(\boldsymbol{M}_1)+\text{rank}(\boldsymbol{M}_2)\ge\text{rank}(\boldsymbol{M}_1+\boldsymbol{M}_2)$$

All Vectors with Sum of Elements equal to Zero

所有元素和为0的四个元素的向量 $\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3,v_4)$ 构成的子空间是什么样子的？

$$v_2+v_2+v_3+v_4=0\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{bmatrix}=0\Rightarrow\boldsymbol{Av}=0$$

所以子空间即为 $\boldsymbol{N}(\boldsymbol{A})$。秩为1，列数为4，故子空间维度是3，三个自由变量。

$$\boldsymbol{v}=c_1\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+c_3\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$

Rank 1 Matrices and Matrix Multiplication

当你构造一个秩为1的矩阵的时候，会惊讶的发现每一行都是第一行的倍数，每一列都是第一列的倍数（如果第一列不是全0的话）。比如

$$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}$$

可以表示为第一列乘第一行（第一行第一列的值必须是1才行，否则是需要有个倍数的）。所有列向量乘行向量都能得到一个秩为1的矩阵。

$$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ \end{bmatrix}$$

根据矩阵乘法可以发现两个矩阵 $\boldsymbol{A}_{m\times n}$ 和 $\boldsymbol{B}_{n\times q}$ 相乘等于 $n$ 个 $\boldsymbol{A}$ 的列向量乘以 $\boldsymbol{B}$ 的行向量的秩一矩阵的和：

$$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{AB}=\sum_{k=1}^{n}\begin{bmatrix} a_{1k}\\ \vdots\\ a_{mk} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{k1} & \cdots & b_{kq} \end{bmatrix}$$

一个矩阵可以由秩一矩阵构造出来，这就是为什么秩一矩阵就像”building blocks“。