csp初赛

转载自：https://blog.csdn.net/lleozhang/article/details/82918431

一.卡特兰数的应用

      卡特兰数经常出现在OI以及ACM中，在生活中也有广泛的应用。下面举几个例子。

      1、出栈次序：一个栈（无穷大）的进栈次序为1、2、3……n。不同的出栈次序有几种。

            我们可以这样想，假设k是最后一个出栈的数。比k早进栈且早出栈的有k-1个数，一共有h(k-1)种方案。比k晚进栈且早出栈的有n-k个数，一共有h(n-k)种方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)种方案。显而易见，k取不同值时，产生的出栈序列是相互独立的，所以结果可以累加。k的取值范围为1至n，所以结果就为h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)。

            出栈入栈问题有许多的变种，比如n个人拿5元、n个人拿10元买物品，物品5元，老板没零钱。问有几种排队方式。熟悉栈的同学很容易就能把这个问题转换为栈。值得注意的是，由于每个拿5元的人排队的次序不是固定的，所以最后求得的答案要*n!。拿10元的人同理，所以还要*n!。所以这种变种的最后答案为h(n)*n!*n!。

       

     2、二叉树构成问题。有n个结点，问总共能构成几种不同的二叉树。

            我们可以假设，如果采用中序遍历的话，根结点第k个被访问到，则根结点的左子树有k-1个点、根结点的右指数有n-k个点。k的取值范围为1到n。讲到这里就很明显看得出是卡特兰数了。这道题出现在2015年腾讯实习生的在线笔试题中。有参加过的同学想必都有印象。

  

     3、凸多边形的三角形划分。一个凸的n边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案。

             这也是非常经典的一道题。我们可以这样来看，选择一个基边，显然这是多边形划分完之后某个三角形的一条边。图中我们假设基边是p1pn，我们就可以用p1、pn和另外一个点假设为pi做一个三角形，并将多边形分成三部分，除了中间的三角形之外，一边是i边形，另一边是n-i+1边形。i的取值范围是2到n-1。所以本题的解c(n)=c(2)*c(n-1)+c(3)*c(n-2)+...c(n-1)*c(2)。令t(i)=c(i+2)。则t(i)=t(0)*t(i-1)+t(1)*t(i-2)...+t(i-1)*t(0)。很明显，这就是一个卡特兰数了。

            

        4、其他。诸如括号匹配问题、01序列问题、n边形格子从左下角走到右上角不跨过对角线问题。这些都是卡特兰数，其他问题也基本上是上面问题的变种。

二.逻辑运算
逻辑与：∧（或‘·’）

逻辑或：∨ （或‘+’）

逻辑非：┐

优先级：逻辑非>逻辑与>逻辑或，有括号按括号，无括号先按优先级，同级运算从左至右

与位运算结合优先级：逻辑非（！，┐）=按位反（~）>位移运算（<<,>>）>不等号（>=,<=）>等号（==,!=）>按位与（&）>按位异或（^）>按位或（|）>逻辑与（&&，∧）>逻辑或（||，∨）

三.数据结构
1.二叉树
（1）二叉树的三种遍历方式：
①.先序遍历：根-左-右

②.中序遍历：左-根-右：

③.后序遍历：左-右-根

结论：给定中序遍历和先序遍历或后序遍历组合都可以确定这棵二叉树，但是给定先序遍历和后序遍历组合则不可确定

（2）二叉树特例：

完全二叉树：对于每个节点，都有两个子节点

满二叉树：对于每个节点，都有两个子节点且树完全“平衡”，总节点个数为2^k-1，k∈Z（如上面的样例）

（3）二叉树的有关公式：

一棵满二叉树：节点个数为，叶节点个数为<其中k为树的高度

二叉树的深度均摊为log2n，其中n为节点个数（这就是treap等二叉搜索树时间复杂度的来源）

2.栈与队列

（1）栈：只有一个口，后进栈者先出栈

（2）队列：有head和tail，从尾入队，从头出队，先进先出

3.链表：

链表：每个元素会有一个指针指向要求的下一个元素

分类：

单向链表：每个元素只有一个指针指向下一个元素

双向链表：每个元素有两个指针，一个指向下一个元素，另一个指向指向他的元素

链表可以实现O（n）查询，O（1）删除（重构指针即可）

4.图论有关知识：
完全图：任意两点均有连边的图，其中边数为n*(n-1)/2，其中n为图中节点个数

连通图：任意两点之间都能直接或间接通过边到达的图

树：任意两点之间的简单路径有且仅有一条（或有n个点，n-1条边的连通图）

欧拉图：可以一笔画出来的图

一个图是欧拉图的充要条件（无向图）：度为奇数点的点的个数<=2

相关定义：

欧拉环游：通过图中每边恰好一次的闭路径

欧拉闭迹：通过图中每边恰好一次的路径

三.IT基础知识与历史：
1.编程语言：
编程语言主要分两类：面向对象和面向过程

常见的面向对象高级语言：
simula 67，支持单继承和一定含义的多态和部分动态绑定；

Smalltalk，支持单继承、多态和动态绑定；

EIFFEL，支持多继承、多态和动态绑定；

C++，支持多继承、多态和部分动态绑定。

Java，支持单继承、多态和部分动态绑定。

结论：面向对象语言常见特点：封装，继承，多态

常见的面向过程高级语言：
C语言

Fortran语言

 常见的低级语言：
汇编

高级语言与低级语言的区别：
高级语言更易移植，需要编译运行，低级语言（汇编）常数极小，运行速度快

2.计算机历史
对计算机做出重要贡献的人物：
图灵，冯·诺依曼（101页报告，EDVAC）

计算机的顶级奖项：
图灵奖

中国获图灵奖的人物：
姚期智

第一台计算机：
ENIAC

第一台具有存储程序功能的计算机：
EDVAC

3.计算机硬件原理问题：
微型计算机的面世——超大规模集成电路

计算机存储：

常见存储设备：ROM，RAM，硬盘，U盘，内存

四.实际问题的解决：
1.常见递推问题：
平面分割问题：

n条直线最多将平面分成的部分：

推广：n个平面最多将空间分成的部分：

 

 

n条封闭曲线最多将平面分成的部分：

 

 

n条折线最多将平面分成的部分：

 

 

n条‘Z’型折线最多将平面分成的部分：

 

 

斐波那契数列问题：

 

 

卡特兰数列问题：