丢棋子问题 ——(动态规划)
题目描述
一座大楼一共有0~N层，地面算第0层，最高一层为第N层。已知棋子从第0层掉落肯定不会摔碎，从第i层掉落可能回摔碎，也可能不会摔碎(1<=i<=N)。给定整数N作为楼层数，再给定整数K作为棋子数，返回如果想找到棋子不会摔碎的最高层数，即使在最差的情况下仍的最少次数。一次只能仍一个棋子。
例子
N=10, K=1.
返回10。因为只有1颗棋子，所以不得不从第一层开始一直试到第十层，最差情况要扔10次。
N=3, K=2.
返回2。现在第2层仍1颗棋子，如果碎了，试第1层；如果没碎，试第3层。
N=105, K=2.
返回14。
| 第一颗棋子尝试层数 | 若第一颗碎了第二颗棋子尝试的层数 | |
|---|---|---|
| 第一次尝试 | 14 | 1~13 |
| 第一次没碎 | 27 | 15~26 |
| 第二次没碎 | 39 | 28~38 |
| 第三次没碎 | 50 | 40~49 |
| 第四次没碎 | 60 | 51~59 |
| 第五次没碎 | 69 | 61~68 |
| 第六次没碎 | 77 | 70~76 |
| 第七次没碎 | 84 | 78~83 |
| 第八次没碎 | 90 | 85~89 |
| 第九次没碎 | 95 | 91~94 |
| 第十次没碎 | 99 | 96~98 |
| 第十一次没碎 | 102 | 100,101 |
| 第十二次没碎 | 104 | 103 |
| 第十三次没碎 | 105 |
方法一：暴力算法
设P(N,K)的返回值时N层楼时有K个棋子在最差的情况下仍的最少次数。
- 如果N==0，棋子在第0层肯定不会碎，所以P(0, K) = 0;
- 如果K==1，楼层有N层，只有1个棋子，故只能从第一次开始尝试，P(N,1)=N;
- 对于N>0且K>1, 我们需考虑第1个棋子是从那层开始仍的。如果第1个棋子从第i层开始仍，那么有以下两种情况:
(1) 碎了。没必要尝试第i层以上的楼层了，接下来的问题就变成了剩下i-1层楼和K-1个棋子，所以总步数为 1+P(i-1, K-1);
(2)没碎。 那么可以知道没必要尝试第i层及其以下的楼层了，接下来的问题就变成了还剩下N-i层和K个棋子，所以总步数为 1+P(N-i, K). - 根据题意应该选取(1)和(2)中较差的那种情况，即 max{ P(i-1, K-1), P(N-i, K)}+1。 由于i的取值范围是 1到N, 那么步数最少的情况为， P(N, K)=min{ max{P(i-1, K-1), P(N-i, K)}(1<=i<=N) }+1。
** Solution one **
** 时间复杂度 O(N!) **
public int solutionOne(int N, int K){
if ( N<1 || K<1 )
return 0;
return helper1(N, K);
}
private int helper1(int N, int K){
if ( N==0 ) return 0;
if ( K==1 ) return N;
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int i=1; i<=N; ++i){
min = Math.min(min, Math.max( helper1(i-1, K-1), helper1(N-i, K)));
}
return min+1;
}
方法二：动态规划
通过研究以上递归函数发现， P(N, K)过程依赖于P(0...N-1, K-1) 和 P(0...N-1, K)。所以，若把所有的递归的返回值看作是一个二维数组，可以用动态规划的方法优化递归过程。从而减少计算量。
dp[0][K] = 0, dp[N][1] = N, dp[N][K] = min( max(dp[i-1][K-1], dp[N-i][K])) + 1。
时间复杂度 O(N^2 * K)
** Solution two **
public int solutionTwo(int N, int K){
if ( N<1 || K<1 )
return 0;
if ( K == 1 ) return N;
int[][] dp = new int[N+1][K+1];
for(int i=1; i<dp.length; ++i) {
dp[i][1] = i;
}
for(int i=1; i<dp.length; ++i) {
for(int j=2; j<=K; ++j) {
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int k=1; k<i+1; ++k) {
min = Math.min(min, Math.max(dp[k-1][j-1], dp[i-k][j]));
}
dp[i][j] = min + 1;
}
}
return dp[N][K];
}
方法三：优化的动态规划
分析动态规划的过程发现，dp[N][K]只需要它左边的数据dp[0...N-1][K-1] 和它上面一排的数据dp[0...N-1][K]。那么在动态规划计算时，就可以用两个数组不停复用的方式实现，而不需要申请整个二维数组的空间。
** Solution Three **
public int solutionThree(int N, int K){
if ( N<1 || K<1 )
return 0;
if ( K == 1 ) return N;
int[] preArr = new int[N+1];
int[] curArr = new int[N+1];
for(int i=1; i<curArr.length; ++i) {
curArr[i] = i;
}
for(int i=1; i<K; ++i) {
int[] tmp = preArr;
preArr = curArr;
curArr = tmp;
for(int j=1; j<curArr.length; ++j){
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int k=1; k<j+1; ++k) {
min = Math.min(min, Math.max(preArr[k-1], curArr[j-k]));
}
curArr[j] = min + 1;
}
}
return curArr[curArr.length-1];
}
方法四：四边形不等式优化动态规划
方法二和三的时间复杂度还是很高。但我们注意到，求解动态规划表中的值时，有枚举的过程，此时往往可以用“四边形不等式”及其相关猜想来进行优化。
**优化方式：四边形不等式及其猜想: **
1. 如果已经求出了 k+1 个棋子在解决 n 层楼时的最少步骤 (dp[n][k+1]), 那么如果在这个尝试的过程中发现，第 1 个棋子仍在 m 层楼的这种尝试导致最终的最优解。 则在求 k 个棋子在解决 n 层楼时 (dp[n][k]), 第 1 个棋子不需要去尝试 m 层以上的楼。
举个例子，3个棋子在解决100层楼时，第1个棋子仍在37层楼时最终导致了最优解，那么2个棋子在解决100层楼时，第1个棋子不需要去尝试37层楼以上的楼层。
2. 如果已经求出了 k 个棋子在解决 n 层楼时的最少步骤 (dp[n][k]), 那么如果在这个尝试的过程中发现，第 1 个棋子仍在 m 层楼的这种尝试最终导致了最优解。则在求 k 个棋子在解决 n+1 层楼时 (dp[n+1][k]), 不需要尝试 m 层以下的楼。
举个例子，2个棋子在解决10层楼时，第1个棋子仍在4层楼时最终导致了最优解。那么2个棋子在解决11层楼或者更多的楼层时，第1个棋子也不需要去尝试1,2和3层楼，只需才4层及其以上楼层开始尝试。
也就是说，动态规划表中的两个参数分别为棋子数和楼层数，楼数变多以后，第1个棋子的尝试楼层的下限是可以确定的。棋子变少之后，第1个棋子的尝试楼层的上限也是确定的。这样就省去了还多无效的枚举过程。
**一般通过“四边形不等式”的优化可以把时间复杂度降低一个维度，可以从 O(N^2 * k) 或 O(N^3) 降低到 O(N^2)。
** Solution Four **
public int solutionFour(int N, int K){
if ( N<1 || K<1 )
return 0;
if ( K == 1 ) return N;
int[][] dp = new int[N+1][K+1];
for(int i=1; i<dp.length; ++i) {
dp[i][1] = i;
}
int[] cands = new int[K+1];
for(int i=1; i<K+1; ++i) {
dp[1][i] = 1;
cands[i] = 1;
}
for(int i=2; i<N+1; ++i) {
for(int j=K; j>1; --j) {
int min = Integer.MAX_VALUE;
int minEnum = cands[j];
int maxEnum = j==K? i/2+1 : cands[j+1];
for(int k=minEnum; k<maxEnum+1; ++k ) {
int cur = Math.max(dp[k-1][j-1], dp[i-k][j]);
if (cur<=min) {
min = cur;
cands[j] = k;
}
}
dp[i][j] = min+1;
}
}
return dp[N][K];
}
方法五： 最优解
最优解比一上各种方法都快。首先我们换个角度来看这个问题，以上各种方法解决问题是N层楼有K个棋子最少仍多少次。现在反过来看K个棋子如果可以仍M次，最多可以解决多少楼层这个问题。根据上文实现的函数可以生成下表。在这个表中记作map， map[i][j]的意义为i个棋子仍j次最多搞定的楼层数。
| 棋子数\次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 |
| 3 | 0 | 1 | 3 | 7 | 14 | 25 | 41 | 63 | 92 | 129 | 175 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | 7 | 15 | 30 | 56 | 98 | 162 | 255 | 385 |
| 5 | 0 | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 62 | 119 | 218 | 381 | 637 |
通过研究map表发现，第一排的值从左到有一次为1，2，3...，第一纵列都为0， 初次之外的其他位置(i, j),都有 map[i][j] == map[i][j-1] + map[i-1][j-1] + 1.
将设i个棋子仍j次最多搞定m层楼，“搞定最多”说明每次仍的位置都是最优的且在棋子肯定够用的情况下，若第1个棋子仍在a层楼是最优的。
1. 如果第1个棋子以碎，那么就向下，看i-1个棋子扔j-1次最多搞定多少层楼；
2. 如果第1个棋子没碎，那么就向上，看i个棋子扔j-1次最多搞定多少层楼；
3. a层楼本身也是被搞定的1层；
1、2、3的总楼数就是i个棋子扔j次最多搞定的楼数，map表的生成过程极为简单，同时数值增长的极快。原始问题可以通过map表得到很好的解决。
例如，想求5个棋子搞定200层楼最少扔多少次的问题，注意到第5行第8列对应的值为218，是第5行的所有值中第一次超过200的值，则可以知道5个棋子搞定200层楼最少扔8次。同时在map表中其实9列10列的值也完全可以不需要计算，因为算到第8列就已经搞定，那么时间复杂度得到进一步的优化。另外还有一个特别重要的优化，我们知道N层楼完全用二分的方式扔logN+1次就直接可以确定哪层楼是会碎的最低层楼，所以当棋子数大于logN+1时，我们就可以返回logN+1.
如果棋子数位K，楼数位N, 最终的结果位M次，那么最优解的时间复杂度为O(KxM), 在棋子数大于logN+1时，时间复杂度为O(logN). 在只要1个棋子的时候， KxM等于N, 在其他情况下 KxM要比N得多。
** Solution Five **
public int solutionFive(int N, int K){
if ( N<1 || K<1 )
return 0;
int bsTimes = log2N(N) + 1;
if (K >= bsTimes) {
return bsTimes;
}
int[] dp = new int[K];
int res = 0;
while (true) {
++res;
int previous = 0;
for(int i = 0; i < dp.length; ++i) {
int tmp = dp[i];
dp[i] = dp[i] + previous + 1;
previous = tmp;
if (dp[i] >= N) {
return res;
}
}
}
}
