通俗算法教程02 - 从罗素悖论到图灵机

艾伦·图灵

 

为什么会出现图灵机？这得从罗素悖论讲起。

罗素悖论

有位理发师放出豪言：他给且只给不为自己刮胡子的人刮胡子。问：这位理发师该为自己刮胡子吗？

如果理发师为自己刮胡子，那么按照他的豪言“只给不为自己刮胡子的人刮胡子”他不应该为自己刮胡子；但如果他不为自己刮胡子，同样按照他的豪言“他给不为自己刮胡子的人刮胡子”他又应该为自己刮胡子。

这个问题就是著名的理发师悖论，是哲学家兼数学家的罗素用来比喻罗素悖论的一个通俗说法，也被叫作集合论悖论，用集合论来描述就是：

集合 S 由一切不属于自身的元素组成，那么 S 是否属于 S 呢？

在这一悖论提出之前集合论是数学理论的重要基础，结合集合论，历史上的一切数学问题都可以完美地等到求证，当时人们已经相信整个数学大厦已经建立起来了，数学已经迎来了绝对的严格性。

但罗素悖论出现后，人们心中的大厦坍塌了，直接导致了历史上的第三次数学危机。当时提出集合论的数学家康托尔也被这个悖论逼疯了，可怜的康托尔。由此可见罗素这个人在数学界的影响。

哥德尔不完备性定理

当时人们好不容易在集合论的基础上构建起了数学大厦，结果集合论也是不完美的，连这个基础都崩溃了。那还能不能找到一个系统，在它的基础上真正构建整个数学大厦呢？

后来有一个数学家哥德尔成功证明了一个定理，大意是这样的：

世界上存在我们既没办法证真也没办法证伪的命题。

比如前文说的的集合论，还有典型的 1+1=2 的问题，我们既不能证明它们是真命题，也不能证明它是伪命题。这个定理被称为哥德尔不完备性定理。我们可能会想，这种定理也能被证明？他是怎么证明的？这个我们就不去研究了，反正哥德尔他就是证明了这样的一个定理，过程是很复杂的。

哥德尔不完备性定理的证明结束了关于数学基础的争论，宣告了数学不是绝对严格性的，把数学彻底形式化这种愿望是不可能实现的，不存在这样一个完美的数学系统。

哥德尔不完备性定理告诉我们，不要试图去寻找一个完美的系统，这不存在的，这辈子都不可能存在的。

那么，有了这个结论，我们是不是就可以不往下探索了呢？如果还可以往下探索，我们该探索什么问题？

计算模型和图灵机

通过哥德尔不完备性定理，我们知道，有些问题是既不能证真也不能证伪的，有些问题是可以证真或证伪的。对于这两类问题，它们的边界在哪里？怎么去判定一个未解的问题是否真的有解？

为了解答这个问题，我们需要引入一个度量：可计算问题。在数学中对应可计算函数，它的定义是这样的：

设函数 f 的定义域为 D，值域为 R，如果存在一种算法，对于 D 中任意给定的 x，都能计算出 f(x) 的值，则称函数 f 是可计算的。

这是当时诸多数学家、逻辑学家等对判断一个问题是否可计算提出的一个思路。通俗的讲就是，先给定一个模型，如果拿有限的值去套这个模型，能够得到期望的结果，那就说明这个问题是可计算的，否则是不可计算的。这里用来判断问题是否可计算的模型就被称为：计算模型。

那么如何设计或找到这样一个计算模型呢？这是当时人们所面临的一个重要问题，一直没有得到解决。后来终于有一位数学家提出了一个这样的模型，他就是图灵。他提出的这个计算模型被称为图灵模型，而这个图灵模型就是图灵机。

好了，到这里我们已经知道了历史背景下为什么会诞生图灵机。那么图灵模型它是一个怎样的模型？图灵机它又是如何工作的呢？这就是下一篇要讲的内容。

最后顺带讲一下图灵这个人，相信很多人都听过他的故事，他真的是很牛逼。他 24 岁就提出了图灵机，二战期间参与了密码破译工作，任密码破译总顾问，后来还提出了著名的“图灵测试”，逝世前两年还写出了第一个国际象棋程序。图灵的贡献对计算机领域的发展有着非常深远的影响，可惜他享年只有 42 岁（1912 年 - 1954 年），如果不是英年早逝的话，计算机的整个发展史可能就要重写了。

参考：

1. http://t.cn/EvMrKcS

2. http://t.cn/EvMru3r

3. http://t.cn/RGJrnmS