编程之美 2.12 快速寻找满足条件的两个数 解法三证明 (算法导论 第二版 2.3-7 在n个元素的集合S中找到两个和为x的元素)

题目来源 : 《编程之美》 2.12 快速寻找满足条件的两个数, Page 177

【问题描述】

      快速找出一个长度为 N 的数组 A 中的两个数字,让这两个数字的和为一个给定的数字 S 。

【伪代码】

 1 sort(A) // ascending order, O(N*logN)
 2 
 3 int i = 0, j = N - 1;  
 4 while (i < j) {
 5     if (A[i] + A[j] == S) {
 6         The answer has been found !!!
 7         break;
 8     } else if (A[i] + A[j] < S) {
 9         i++;
10     } else {
11         j--;
12     }
13 }
14 
15 The answer does not exsit !!!

      时间复杂度: O(N*logN) + O(N) = O(N*logN)

【形式化证明】

      循环不变式:
   

 

    1. 在第一轮迭代之前,不变式显然成立。
    2. 设前 k 轮迭代能够保持不变式成立, 则在 k+1 轮:
      (1) 若找到答案,则结束循环;
      (2) 否则,由于数组是有序的并且前 k 轮不变式成立,在执行 i++ (ln 9)或 j-- (ln 11)后,不变式仍成立。 
    3. 循环结束后,若未找到答案,则 i = j, 由循环不变式可知不存在所要求的答案

posted @ 2013-12-14 14:58  william-cheung  阅读(236)  评论(0编辑  收藏  举报