ICG游戏：尼姆游戏异或解法的证明

描述：

尼姆博奕(Nimm Game)，有n堆石子，每堆石子有若干石子，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限。取走最后石子的人获胜。

标准解法：

判断：

先计算先手是必胜还是必败：

将每堆石子的数量做二进制异或（即用二进制表示，每个数字的第一位做异或；第二位做异或...），结果如果是0，则必败；否则必胜。

（其实每个二进制位如果有偶数位1，则异或结果是0，否则为1；异或符合结合律，交换律）

做法：

如果是必胜局如何操作：

必胜局则异或结果不是0，操作某一堆，使得异或结果是0。

证明：

这其实是ICG游戏的标准解法。找到P态和N态（也称奇异非奇异局势，平衡态、终态等）：

P态：必败态，P态的任一操作都将使局面转为N态；

N态：必胜态，N态可以一步转为P态；

 

其实不用管上面的理论也行，只有证明以下结论即可：

1.对于一个异或和为0的局面，任一操作都将使其不为0；

2.对于一个异或和不为0的局面，存在一个操作使其为0；

对于1：由于只能操作一个数，至少减一，则有：

　　　　　　如果改变后的数的二进制表示中，1对应的位完全和原来一样，则必定有0改为了1，导致改变后的数大于原数，矛盾。

　　　　　　所以，改变后的数二进制中，至少有1个1变成了0，则改位的异或和改为了1，证毕。

对于2：可以通过改变1的奇偶来改变异或和（可以通过删除1或增加1）：

　　　　　　设从高到低，含有奇数列的序号位w1, w2 ,w3...

　　　　　　任意选取最高列中，1所在的数。删除这个1，实际是分配w1 - 1个1给这个数后面的任一列。

　　　　　　则这行中，多出的1删去，少了的补上即可。

　　　　　　如：　　　　　

　　　　　　　　5：  0 1 0 1
　　　　　　　　10：1 0 1 0
　　　　　　　　1：  0 0 0 1
　　　　　　　　4：  0 1 0 0

　　　　　　其中奇数号列位4，2，而第四列中，10的最高位的1可删除，删去1（实际是删去8），

　　　　　　后面可任意改变数量，而第二列中也多出1，删去。得0。即10全部取走。

由于0，0，0是异或和为0的状态，只要一直将异或为0的状态交给对方，由于数量一直减少，则自己总能到达0，0，0态，取得胜利。