快速幂乘法

本次我们来讲述快速幂乘法

• 快速幂乘法相对于普通的乘法有很大的时间复杂度优化，其原因是基于位运算的一种算法，空间复杂度能够减少到O( log N )级别。而普通的乘法，则是O( N ) 级别。

下面来看一下代码：

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll Quick_Multi(ll a, ll b);

int main()
{
	ll a, b;//a的b次幂
	cout << "请输入a的几次方(a^b)" << endl;
	cin >> a >> b;
	cout << Quick_Multi(a, b) << endl;
	return 0;
}

ll Quick_Multi(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	if (!a)//判断a是否为零，如若是0，返回0
		return a;
	while (b)
	{
		if (b & 1)//进行与一操作
			ans *= a;
		a *= a;
		b >>= 1;//b向右移以为
	}
	return ans;
}

代码解释

• 首先来看一下快速幂的函数。该函数需要两个参数，a和b。a为底，b为次幂，所计算的结果为a^b。
• 在该代码中，使用了位运算右移和与。如果对于位运算不熟悉，可以上网查询一下。
• 基本思路：我们以a为底，b为次幂，那么我们把b拆分为二进制数。举个例子: 2^7= 128； 那么我们把3拆分成二进制数，为0011,那么我们便有了2^(0011)₂，也就是化成为(2 ^ 4) * ( 2 ^ 2 ) *（ 2 ^ 1 ）的形式。
• 这个拆分的方法类似于分治。利用这个方法，可以把算法复杂度从 O( n )级别降低到O( long n )级别。

在一般的思路中，好比方我们求 2^7，那么普通的乘法就是 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 求了七次，而是用快速幂乘法，那么也就有了(2 * 2 * 2 ) * ( 2 * 2 * 2 ) * 2 =( ( 2 * 2 * 2 ) ^ 2 ) * 2，另外一个角度去看，乘了3次乘法运算。也就是说，我们把需要乘七次的乘法降低到了成三次。这就是快速幂乘法的意义。