入门动态规划问题
hihocoder这周欠了三题，于是今天一波结束了。然后发现这三个题目似乎都很简单，并且还是一类问题里面的。所有就写成一次的吧。
动态规划问题，说起来，理论上是每个搞ACM的人都会学的，而且应该是最开始就学的。因为动态规划问题是各种各样比赛的宠儿啊，几乎每次比赛必出动态规划。楼教主的“男人八题”里面就有几个动态规划问题，是需要结合数据结构和动态规划才能解决的问题。不过不在这次范围内。
当然，在写动态规划问题之前，显然是要推荐一波《背包九讲》的，毕竟写的很好。传送门
1)数字三角形问题
数字三角形问题其实本质上也就是选和不选问题。
就以hihocoder-1037-数字三角形这个题目来说吧。
2 6 4 1 2 8 4 0 9 6 6 5 5 3 6这个三角形，从最上面走到下面，每次只能向左下或者右下走，问最后的路径上的数的和最大为多少。
如果单纯的采用贪心的策略走的话，2-6-2-9-5，于是最大路径变成了24，然而结果却是28，是2-4-8-9-5
显然在第一步走错了。
那我们试试用搜索的方法，搜索因为采用递归的方式，所以其实把每一种方案都选择了一下。
2-6-1-4-6
2-6-1-4-5
....
2-4-8-9-5
....
2-4-8-6-6
显然用搜索时能够找到最后的结果的。
但是每种方案都找出来了。总共有2^4种方案，所以对于任意的n，有2^(n-1)种方案，那么如果n是100，显然要找到2^99种方案，这样的效率，是非常可怕的。
那我们再考虑下，发现，在搜索的时候，很多步骤是重复的。比如在2-6-2和2-4-2后面的几种方案，虽然都是一样的结果，但是却因为前面不同所以被重复计算了。这是导致效率低的原因。那该怎么解决呢？
很简单，把后面运行的结果保存一下，每次遇到相同的直接用不就可以了么。
所以假设f[i][j]表示从底部走到(i,j)这个位置的路径上所经过的最大路径和。这个状态我们发现是可以转移的。
f[i+1][j]的状态只需要向上面走一个位置，就可以转移到f[i][j]，同理f[i+1][j+1]也是这样
然后就可以得到一个方程f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + val[i][j];
得到这个方程就可以轻松的解决这个问题了。
所以动态规划的核心思想，其实就是状态和状态转移方程。
附上hihocoder-1037-数字三角形的ac代码：
import java.util.Scanner;
import java.io.BufferedInputStream;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in = new Scanner( new BufferedInputStream( System.in ) );
int n = in.nextInt();
int[][] a = new int[n][n];
int[][] dp = new int[n][n];
for( int i = 0; i < n; ++i )
for( int j = 0; j <= i; ++j )
a[i][j] = in.nextInt();
for( int i = 0; i < n; ++i ) dp[n - 1][i] = a[n - 1][i];
for( int i = n - 2; i >= 0; --i )
for( int j = i; j >= 0; --j )
dp[i][j] = Math.max( dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1] ) + a[i][j];
System.out.println( dp[0][0] );
}
}
2)01背包
这个背包问题就是选和不选的问题，从这个背包问题能衍生出很多问题，比如POJ-2184这个题目就是一个很好的01背包变形。
不过今天是基础的背包，那我还是说基础的背包问题吧。
就以hihocoder-1038-01背包这个题目来说吧。
有n个奖品，m个奖卷。第i个奖品兑换需要w[i]个奖卷，这个奖品由v[i]的价值。问使用m个奖卷能换到的奖品价值最大为多少。
其实也是一个选和不选的问题了，与上面那个三角形还是非常类似的。
看到这个问题的时候就会有一种想法，就是强行搜索一波，把选和不选每个物品的两种情况都给搜索出来，这种不失为一种办法，但是确实很麻烦效率很低，即使物品只有30个也会一波GG，当然如果某些题目剪枝剪得非常棒那是另外一回事了。
根据我们做上面那个三角形的经验，我们要找到一个状态，一个状态转移方程就好了。
那这个状态怎么找呢？
f[i][j]表示当装了第i个物品，并且花了j个奖卷之后所能获得的最大价值。
这样就成功的找出来了。你要是问我这是怎么找到的。我也只能说一句无可奉告，毕竟我也只是学习了这些之后才知道的。
所以状态转移方程就是f[i][j] = max(f[i - 1][j - w[i]] + v[i], f[i][j]);（可优化）
所以直接给出hihocoder-1038-01背包的代码。
import java.util.Scanner;
import java.io.BufferedInputStream;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in = new Scanner( new BufferedInputStream( System.in ) );
int n = in.nextInt();
int m = in.nextInt();
int[] a = new int[n];
int[] b = new int[n];
for( int i = 0; i < n; ++i ){
a[i] = in.nextInt();
b[i] = in.nextInt();
}
int[] dp = new int[m + 10];
for( int i = 0; i < n; ++i ) {
for( int j = m; j >= a[i]; --j ) {
if( j >= a[i] )
dp[j] = Math.max(dp[j - a[i]] + b[i], dp[j]);
}
}
System.out.println( dp[m] );
}
}3)完全背包
其实在说完全背包之前，说下多重背包比较好。不过想想我这么懒，还是算了吧。
首先能获取的是无限的，每种奖品能被无限次获取。看到这里内心一颤啊，居然无限次获取，那怎么搞啊。然而，虽然奖品是无限次获取的，但是手中的奖卷却是有限的。对于每种物品，能获得的物品数，也不过就是m / w[i]而已啊。
所以因此，就成功的把完全背包转换成了多重背包。多重背包的解法很多，比如再转换成01背包去计算，或者利用二进制来优化多重背包。
即，把多重背包最多能选的次数w，变成[2^0, 2^1, 2^2, 2^3,..., 2^k, w - 2^k]
这样的效率比一次一次的找要高的多了。
直接附hihocoder-1043-完全背包的ac代码：
import java.util.Scanner;
import java.io.BufferedInputStream;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in = new Scanner( new BufferedInputStream( System.in ) );
int n = in.nextInt();
int m = in.nextInt();
int[] a = new int[n];
int[] b = new int[n];
int[] c = new int[n];
for( int i = 0; i < n; ++i ){
a[i] = in.nextInt();
b[i] = in.nextInt();
c[i] = m / a[i];
}
int[] dp = new int[m + 10];
for( int i = 0; i < n; ++i ) {
int t = c[i], r = 1;
while( t > 0 ) {
if( r > t ) r = t;
t -= r;
for( int j = m; j >= r * a[i]; --j ) {
dp[j] = Math.max( dp[ j - r * a[i] ] + r * b[i], dp[j]);
}
r <<= 1;
}
}
System.out.println( dp[m] );
}
}
