树状数组(BIT)初学

　　BIT(Binary Indexed Tree,BIT) 树状数组。树状数组是一类怎样的数据结构呢？我们知道，树状数组是用来解决动态连续和的查询问题而诞生的。

数据结构就是说，给你n个元素的数组a[1],a[2],a[3]....a[n](下标要从1开始)然后，支持以下两种操作:

　　　　1.Add(x,y)就是说对下标为x的a[x]加d。模板默认为update(x,y)

　　　　2.Query(L,R)就是计算a[L]+a[L+1]+...+a[R]。模板默认为read(x)求出1-x的和，然后read(y)求出1-y的和，然后再用read(y)-read(x-1)得到[x,y]的和

所以说，BIT是一种动态的连续和查询问题。

　　在学习BIT之前，我们必须对于位运算有一定的认识和了解，我们知道，对于负数来说，在计算机中是以其补码的形式存放的，而补码就是在其原码的基础上，符号位不能发生变化，其余各位取反后加一得到的结果。

　　看看这样的运算，比如说7的二进制表示：00000111，那么-7的二进制表示就是:1111001,那么 00000111&11110001的结果是00000001，所以

这样的运算帮我们找到了7 的二进制表示中，最后一个1的位置，有了这个概念。我们如果进行j-=j&(-j)的运算，就知道了这是在把111->110->100->000的过程了。

说了这么多了，那就来说说树状数组到底是怎么实现的呢？用tree[].    tree[i]表示的是[i-(i&(-i))+1,i]这个 区间内a数组元素的和 (为什么会是这个，下文会有解释)

比如我们for( int i = 1;i <= n;i++ )a[i]=i;

想要求出a[1]~a[15]的元素的值。我们知道15的二进制表示是(1111)2

tree[15] = sum[15,15];

tree[14] = sum[13,14];

tree[12] = sum[9,12];

tree[8] = sum[1,8]; 

-> sum[1,15] = tree[1,8]+tree[9,12]+tree[13,14]+tree[15,15];

　　为什么会是这样的结果，我们发现，对于结点i来说，如果他是左子结点的话，那么父亲的节点编号就是i+i&(-i)。

如果i是右子结点的话，那么父亲节点的编号就是i-i&(-i);　　

不难证明，这两个操作的时间复杂度都是O(nlogn),预处理的时候，先把A数组和C数组清空，然后执行n次update()操作，总的时间复杂度是nlogn。

-read( int pos )求出sum[1,pos]。

-update( int pos,int v ) 把a[pos]加v

需要注意的是：更新点然后查询区间，下标必须从1开始。

如果要是计算sum[l,r]的值，那我们就用read(l)-read(r-1)来实现

下面来介绍read的两种实现方式.

第一种，就是用while写的

int read ( int pos )
{
    int ans = 0;
    while ( pos>0 )
    {
        ans+=tree[pos];
        pos-=pos&(-pos);
    }
    return ans;
}

第二种，使用for写的

int read ( int pos )
{
    int ans = 0;
    for ( int j = pos;j;j-=j&(-j) )
    {
        ans+=tree[j];
    }
}

 

再来就是update( int pos,int val )的写法了

第一种，while写法

void update( int pos,int val )
{
    while ( pos <= n )
    {
        tree[pos]+=val;
        pos+=pos&(-pos);
    }
}

第二种，for写法

void update( int pos,int val )
{
    for ( int j = pos;j <= n;j+=j&(-j) )
    {
        tree[j]+=val;
    }
}

 

根据自己的习惯来写吧，其实都不还可以。

 

 

 

 

数据结构学习路线：

树状数组->堆->线段树->平衡树->可并堆->持久化线段树->树套树(->仙人掌)