标准正交基

概念：

在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基或"规范正交基"（Orthonormal basis）。 ^[1] 

 

求法：

https://blog.csdn.net/luixiao1220/article/details/90724055

本文将要介绍的内容很简单，就是如何根据一组非线性相关的向量来计算一组标准正交基。但是与其他文章不同的是，本文将以一种非常直观的思路来，顺理成章的推导出如何计算标准正交基。

首先我们假设有一组非线性相关的基$v^1,v^2,...,v^n\in V$，我们如何根据$v^1,v^2,...,v^n$来计算$V$空间的一组标准正交基？

1. 把$v^1$看做一个一维空间的基，那么自然计算一个标准基的算法为
   $$e^1=\genfrac{}{}{0ex}{}{v^1}{|v^1|}$$

2. 现在我们已经有一个标准基向量$e^1$,那么我们新加入$v^2$，他们会行成一个平面。假设$e^1,e^2$就是这个平面的一组标准正交基，那么$v^2$一定可以表示为，$v^2=|v^2|[cos(\alpha )e^1+sin(\alpha )e^2]$,接下来反求$e^2$就可以了。
   故而下面的等式成立.这个是可以通过简单的几何画图直观上就可以看出来的。
   $$\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{|v^2|}-cos(\alpha )e^1=sin(\alpha )e^2,cos(\alpha )=\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2\cdot e^1}{|v^2|}$$
   $$E^2=v^2-(v^2\cdot e^1)e^1\Rightarrow e^2=\genfrac{}{}{0ex}{}{E^2}{|E^2|}$$

3. 同理在$e^1,e^2$所长成的二维空间上，加入新的$v^3$，可以张成一个三维空间。我们现在假定$e^1,e^2,e^3$张成了一个空间。那么现在我们有$\genfrac{}{}{0ex}{}{v^3}{|v^3|}=cos(\alpha )e^1+cos(\beta )e^2+cos(\gamma )e^3$,
   其中$\alpha ,\beta ,\gamma$分别是$v^3$与三个基向量之间的夹角。
   $$E^3=v^3-(v^3\cdot e^2)e^2-(v^3\cdot e^1)e^1\Rightarrow e^3=\genfrac{}{}{0ex}{}{E^3}{|E^3|}$$

4. 同理我们可以求出$e^n$
   $$E^n=v^n-\stackrel{n-1\sum }{k=1}(v^n\cdot e^k)e^k\Rightarrow e^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{E^n}{|E^n|}$$

来总结一下，也就是每一次假设引入一个标准基向量$e^k$，和前面求出来的标准基向量$e^1,e^2,...,e^k$来组成一个空间。这一组新的标准正交基可以组合为新加入的$v^k$,饭后根据$v^k$可$e^1,e^2,...,e^k$之间的夹角关系求出$e^k$,因为夹角很好求，是$\genfrac{}{}{0ex}{}{v^k\cdot e^j}{|v^k|},j\in (1,2,...,k)$,所以很好求出$e^k$，其实这里面只是利用了一个向量加法而已。