Codeforces 919E - Congruence Equation
思路:
费马小定理。
n*a^n = b (mod p)
根据费马小定理 a^(p-1) = 1 (mod p)
我们把n化为 n=i+y(p-1)
于是[i+y(p-1)]*a^ [i+y(p-1)] = b (mod p)
再根据费马小定理a^ [i+y(p-1)]=a^i (mod p)
于是[i+y(p-1)]*a^i = b (mod p)
于是y = (b/(a^i)-i)/(p-1) (mod p)
于是y = (b/(a^i)-i)/(p-1) +k*p(除法用逆元做)
我们发现如果i>p,那么mod p 后还是在0 到 p-1的范围内,所以 0<=i<p,又因为i=0不满足题意,于是0<i<p
于是题目就转换成了遍历i,对于每个i,找有多少个y满足题意
因为n<=x,所以i+y*(p-1)<=x,所以y<=(x-i)/(p-1),所以对于每个i的y的上界可以确定,找y的个数就很简单了
代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define pb push_back #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) const int N=1e6+5; int inv[N]; void init(int p){ inv[1]=1; for(int i=2;i<p;i++)inv[i]=(p-p/i)*1ll*inv[p%i]%p; } ll qpow(ll a,ll b,ll p){ ll ans=1; while(b){ if(b&1)ans=(ans*a)%p; b>>=1; a=(a*a)%p; } return ans; } int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); ll a,b,p,x; cin>>a>>b>>p>>x; init(p); ll ans=0; for(int i=1;i<p;i++){ ll t=qpow(a,i,p); ll y=((b*inv[t]-i+p)%p*inv[p-1])%p; ll yy=(x-i)/(p-1); if(i+y*(p-1)>x)continue; ll add=(yy-y)/p+1; ans+=add; //cout<<i<<' '<<add<<' '<<y<<' '<<yy<<endl; } cout<<ans<<endl; return 0; }