在之前的文章里面，我们介绍了Cook-Torrance BRDF，这是一种常见的用于表现PBR的光照模型。今天我们想要解决的问题是，在该BRDF下，给定物体材质的粗糙度（roughness），该如何生成符合该粗糙度的采样方向呢（这对于路径追踪采样生成入射光、IBL算法中采样计算radiance都很重要）？
法向分布函数（NDF）
对GGX的采样主要是针对它的法向分布函数NDF来进行的。在之前的文章中，我们曾经简单地介绍过法向分布函数的概念，它是一个用来描述微面元模型中各个微面的法向分布密度的函数。该函数实际的意义是当前点的微表面(microfacet)的面积除以宏表面(macrofacet)的面积，然后再除以立体角，所以NDF的单位是立体角分之一。
但是如果直接对NDF针对立体角dw积分的话，得到的结果其实并不是1，也就是说NDF实际上并不是法线的概率密度函数。
真正的归一化公式如下：
\(\LARGE \int D(m)cos(\theta_m)d\omega=1\)
其中D是法向分布函数，m是某个微面元的法向，\(\theta_m\)则是微面元的法向和宏观表面法向的夹角，\(\omega\)是该微面元所属的立体角。这个公式其实就是将微面元的面积映射到了宏表面上，如下图所示：
也就是说，如果上面的积分中没有这个\(cos\theta\)，那么得到的其实是微表面面积之和和宏表面之比。
更详细的理论推导可以参考这篇文章：How Is The NDF Really Defined?
通过上面的公式可知，\(D(m)cos(\theta_m)\)才是真正关于微表面法线的概率密度函数。
关于GGX的重要性采样
知道了概率密度函数p，我们就可以根据它进行采样。在这里我们以GGX的NDF为例。
GGX的NDF形式如下：
\(\large{NDF-GGX(n,h,\alpha)=\frac{{\alpha}^2}{\pi {( {cos\theta}^2 ({\alpha}^2 - 1) + 1)}^2}}\)
将它转换为球坐标系的概率密度函数为：
\(\large{p(\theta,\phi)=\frac{{\alpha}^2 cos\theta sin\theta}{\pi {( {cos\theta}^2 ({\alpha}^2 - 1) + 1)}^2}}\)
求\(\theta\)和\(\phi\)的边缘概率密度函数，得：
进一步求得\(\theta\)和\(\phi\)的CDF：
\(\LARGE P_h(\phi)=\frac{\phi}{2\pi}\)
设两个[0,1]之间的随机数\(\xi\)和\(\epsilon\)分别对应\(P_h(\phi)\)和\(P_h(\theta)\)，可以解得（其实用得就是逆方法）：
\(\LARGE \phi = 2\pi\xi\)
\(\LARGE \theta = arccos\sqrt{\frac{1-\epsilon}{\epsilon(\alpha^2 - 1) + 1}}\)
可以看到UE4中的GGX采样也是用该思路来计算的：
