裴蜀定理_原理证明

裴蜀定理

算法使用

对于$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Z}$,$\mathrm{\exists }x,y\in \mathbb{Z}$,使

$$a\cdot x+b\cdot y=gcd(a,b)$$

且$a$与$b$组成的最小正整数为$gcd(a,b)$.

$gcd(x,y)$表示$x$和$y$的最大公约数.

数学原理

Tips : $a|b$表示$b$能整除$a$,即$b\mathrm{\%}a=0$或$b÷a\mathrm{为}\mathrm{整}\mathrm{数}$.

$$\begin{array}{rl}\mathrm{定}\mathrm{义}& a\mathrm{与}b\mathrm{为}\mathrm{定}\mathrm{值}\\ & A=\{c|a\cdot x+b\cdot y=c;x,y\in \mathbb{Z}\}\\ \mathrm{设}& A\mathrm{中}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{正}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{为}s\\ & a\cdot x_0+b\cdot y_0=s\\ \mathrm{要}\mathrm{证}& gcd(a,b)=s\\ \because & gcd(a,b)|a\cdot x_0\\ & gcd(a,b)|b\cdot y_0\\ & gcd(a,b)|(a\cdot x_0+b\cdot y_0)\\ \therefore & gcd(a,b)|s\\ & s>=gcd(a,b)\\ \mathrm{设}& a=m\cdot s+n,m\in \mathbb{Z},(0\le n<s)\\ & b=i\cdot s+j,i\in \mathbb{Z},(0\le j<s)\\ \because & n=a-m\cdot s\\ & =a-m(a\cdot x_0+b\cdot y_0)\\ & =a(1-m\cdot x_0)+b(-m\cdot y_0)\\ & n\in A,0\le n<s,s\mathrm{是}A\mathrm{中}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}\\ & j=b-i\cdot s\\ & =b-i(a\cdot x_0+b\cdot y_0)\\ & =a(-i\cdot x_0)+b(1-i\cdot y_0)\\ & j\in A,0\le j<s,s\mathrm{是}A\mathrm{中}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}\\ \therefore & n=0,j=0\\ & s|a,s|b\\ \therefore & s\mathrm{为}ab\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{公}\mathrm{约}\mathrm{数},gcd(a,b)\mathrm{为}ab\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{公}\mathrm{约}\mathrm{数}\\ & s<=gcd(a,b)\\ \therefore & gcd(a,b)=s\end{array}$$

拓展

• $a\cdot x+b\cdot y=c$,$gcd(a,b)|c$.