网络流应用

CF1264E Beautiful League

先反其道而行之，如果 $(A,B,C)$ 不符合条件，一定有某一个队伍赢了另外两个队。进一步，如果 $x$ 队赢了 $c_x$ 局，不满足条件的三元组数量 $number=\sum\frac{c_x(c_x-1)}{2}$ 。目的就是让这个东西尽量小

现在有一些的比赛结果已经固定，相当于每个 $c_x$ 有一个限制： $c_x\in [l_x,r_x]$ 且 $\sum c_x=\frac{n(n-1)}{2}$ 。如果没有这个限制当然可以根据不等式直接取值，但加上限制后似乎没法直接贪心。（~~不然为什么数据范围这么小呢~~）

改用费用流。每场比赛一个节点，每个队伍一个节点。连这几种边：

1、 $S$ 到所有比赛节点连一条容量为 $1$ ，花费为 $0$ 的边，代表这场比赛赢家只有一个。

2、每场比赛向对应的两支队伍连边，容量 $1$ ，花费 $0$

3、每支队伍向 $T$ 连 $n-p_x-1$ 条边， $p_x$ 为固定的已经赢的场数。每条边的容量为 $1$ ，花费为每次多赢一场后 $\frac{c_x(c_x-1)}{2}$ 的增量

在这张图上求最小费用最大流就是答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read (int &x) {
    char ch = getchar(); x = 0; while (!isdigit(ch)) ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - 48, ch = getchar();
} const int N = 52, P = N * N, M = N * 600;
int n, m, S, T, tot, k[N][N], c[N], idm[N][N], id[N];
int cnt = 1, h[M], nxt[M], to[M], w[M], co[M];
void add (int u, int v, int ww, int cc) {
    to[++cnt] = v, w[cnt] = ww, co[cnt] = cc, nxt[cnt] = h[u], h[u] = cnt;
    to[++cnt] = u, w[cnt] = 0, co[cnt] = -cc, nxt[cnt] = h[v], h[v] = cnt;
}
queue<int> q; int d[P], f[P], in[P], pre[P];
int spfa () {
    memset (d, 0x3f, sizeof (d));
    memset (in, 0, sizeof (in));
    q.push (S), d[S] = 0, f[S] = 2e9;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front (); q.pop (), in[u] = 0;
        for (int i = h[u], v; i; i = nxt[i])
            if (w[i] && d[v = to[i]] > d[u] + co[i]) {
                d[v] = d[u] + co[i];
                f[v] = min (f[u], w[i]); pre[v] = i;
                if (!in[v]) in[v] = 1, q.push (v);
            }
    }
    return (d[T] != d[T + 1]);
}
void update () {
    for (int x = T, i; x != S; x = to[i ^ 1]) {
        i = pre[x]; w[i] -= f[T], w[i ^ 1] += f[T];
    }
}
signed main() {
    read (n), read (m);
    for (int i = 1, a, b; i <= m; ++i)
        read (a), read (b), k[a][b] = 1, ++c[a];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) id[i] = ++tot;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
            if (!k[i][j] && !k[j][i]) {
                idm[i][j] = ++tot; add (0, tot, 1, 0);
                add (tot, id[i], 1, 0); add (tot, id[j], 1, 0);
            }
    S = 0, T = ++tot;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = c[i]; j < n; ++j) add (id[i], T, 1, j);
    while (spfa ()) update ();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
            if (idm[i][j]) {
                int x = idm[i][j], tag = 0, y = 0;
                for (int k = h[x]; k; k = nxt[k])
                    if (to[k] == 0 && w[k] == 1) tag = 1;
                if (!tag) continue;
                for (int k = h[x]; k; k = nxt[k])
                    if (to[k] && w[k] == 0) y = to[k];
                y == i ? k[i][j] = 1 : k[j][i] = 1;
            }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) putchar (k[i][j] + '0'); puts ("");
    }
}