网络流应用
CF1264E Beautiful League
先反其道而行之，如果 \((A,B,C)\) 不符合条件，一定有某一个队伍赢了另外两个队。进一步，如果 \(x\) 队赢了 \(c_x\) 局，不满足条件的三元组数量 \(number=\sum\frac{c_x(c_x-1)}{2}\)。目的就是让这个东西尽量小
现在有一些的比赛结果已经固定，相当于每个 \(c_x\) 有一个限制：\(c_x\in [l_x,r_x]\) 且 \(\sum c_x=\frac{n(n-1)}{2}\)。如果没有这个限制当然可以根据不等式直接取值，但加上限制后似乎没法直接贪心。（不然为什么数据范围这么小呢）
改用费用流。每场比赛一个节点，每个队伍一个节点。连这几种边：
1、\(S\) 到所有比赛节点连一条容量为 \(1\)，花费为 \(0\) 的边，代表这场比赛赢家只有一个。
2、每场比赛向对应的两支队伍连边，容量 \(1\)，花费 \(0\)
3、每支队伍向 \(T\) 连 \(n-p_x-1\) 条边，\(p_x\) 为固定的已经赢的场数。每条边的容量为 \(1\)，花费为每次多赢一场后 \(\frac{c_x(c_x-1)}{2}\) 的增量
在这张图上求最小费用最大流就是答案
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read (int &x) {
char ch = getchar(); x = 0; while (!isdigit(ch)) ch = getchar();
while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - 48, ch = getchar();
} const int N = 52, P = N * N, M = N * 600;
int n, m, S, T, tot, k[N][N], c[N], idm[N][N], id[N];
int cnt = 1, h[M], nxt[M], to[M], w[M], co[M];
void add (int u, int v, int ww, int cc) {
to[++cnt] = v, w[cnt] = ww, co[cnt] = cc, nxt[cnt] = h[u], h[u] = cnt;
to[++cnt] = u, w[cnt] = 0, co[cnt] = -cc, nxt[cnt] = h[v], h[v] = cnt;
}
queue<int> q; int d[P], f[P], in[P], pre[P];
int spfa () {
memset (d, 0x3f, sizeof (d));
memset (in, 0, sizeof (in));
q.push (S), d[S] = 0, f[S] = 2e9;
while (!q.empty()) {
int u = q.front (); q.pop (), in[u] = 0;
for (int i = h[u], v; i; i = nxt[i])
if (w[i] && d[v = to[i]] > d[u] + co[i]) {
d[v] = d[u] + co[i];
f[v] = min (f[u], w[i]); pre[v] = i;
if (!in[v]) in[v] = 1, q.push (v);
}
}
return (d[T] != d[T + 1]);
}
void update () {
for (int x = T, i; x != S; x = to[i ^ 1]) {
i = pre[x]; w[i] -= f[T], w[i ^ 1] += f[T];
}
}
signed main() {
read (n), read (m);
for (int i = 1, a, b; i <= m; ++i)
read (a), read (b), k[a][b] = 1, ++c[a];
for (int i = 1; i <= n; ++i) id[i] = ++tot;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
if (!k[i][j] && !k[j][i]) {
idm[i][j] = ++tot; add (0, tot, 1, 0);
add (tot, id[i], 1, 0); add (tot, id[j], 1, 0);
}
S = 0, T = ++tot;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = c[i]; j < n; ++j) add (id[i], T, 1, j);
while (spfa ()) update ();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
if (idm[i][j]) {
int x = idm[i][j], tag = 0, y = 0;
for (int k = h[x]; k; k = nxt[k])
if (to[k] == 0 && w[k] == 1) tag = 1;
if (!tag) continue;
for (int k = h[x]; k; k = nxt[k])
if (to[k] && w[k] == 0) y = to[k];
y == i ? k[i][j] = 1 : k[j][i] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) putchar (k[i][j] + '0'); puts ("");
}
}
CF1430G Yet Another DAG Problem（2020-11-10）
CF1430G Yet Another DAG Problem
把边的贡献放到点上，点权的值域和点的个数同级且非常少，把每个点选每个值的贡献当作边权建图
但是有限制，即一条边的 \(u\) 的值大于 \(v\) 的值。可以在 \(v\) 选每个值 \(p\) 的地方向 \(u\) 取 \(p+1\) 的地方连 \(inf\) 边
然后求最小割。这个限制相当于如果 \(v\) 取了 \(p\)，那 \(u\) 取 \(p\) 之前的都是白取，不会算在最小割内
注意点是每条边的权值要平移至正数
CF1354F Summoning Minions（2020-11-14）
这个题自己想了一半，但最后建图不是像上面那样拆开，没有想出来，但其实dp更简单
先贪心一波，假设最后留下的 \(k\) 个点已经选好了，最优方案把这些点按照 \(b_i\) 排序，前 \(k-1\) 个在最开始放入，然后随便放入没有选中的点（放入马上删除），最后放入第 \(k\) 个点
先假设所有点都没被选中，按照公式算出总答案，用网络流跑选 \(k\) 个点的最优解。发现把第 \(i\) 个点选成 \(k\) 中第 \(j\) 个带来的变化是可以算的，这个自然作为边权
与上面不同的是，如果拆开每个点，每个点只能选一次的限制不是很好考虑。其实方法比上面更简单，直接用二分图解决。左部 \(n\) 个点为每个点，右部 \(k\) 个点为把它选中为第几个，连边跑费用流
ARC107F - Sum of Abs （2020-11-02）
和上一题比较类似，先把所有的弄成某个状态，然后把改变状态带来的改变价值当作边权，但是这个稍微难理解一些。
一个连通块中，如果总和是负数，相当于所有点的权值 \(\times -1\)，否则 \(\times 1\)
在答案中每个点都是被成上了 \(+1\) 或 \(-1\) 的权值或被删除，三种状态。限制是没删除的相连的点乘上的值相同
先建立基本的模型，对于每个点拆成 \(2\) 个，从源点到第一个点，从第一个点到第二个点，从第二个点到汇点，代表 \(3\) 中状态
一开始的答案为所有点的绝对值之和，那么网络流模型中每条边的边权是可以弄出来的。
只剩下添加限制了。设从第一个点连到第二个点的表示删除的代价。对于每条边 \((u,v)\)，从 \(u\) 的二号点到 \(v\) 的一号点连 \(inf\) 边，从 \(v\) 的二号点到 \(u\) 的一号点连 \(inf\) 边
意义就是如果 \(u\) 选择删除，\(v\) 随意（因为从一号到二号的边已经没了），如果选了 \(+1\) 或 \(-1\)，\(v\) 只能删除或选同样的权值（如果选了不同的两边还是通的，没有意义）。跑最小割就是答案
