模拟赛Day7(7.27)T3题解

题目描述

定义 \(border(S)\) 为最长的字符串 \(T\)，满足 \(T\) 是 \(S\) 的前缀，也是 \(S\) 的后缀，且 \(|T|<|S|\)。

对于一个字符串 \(S[1\cdots n]\)，令 \(f[i]=|border(S[1\cdots i])|\)。

给定 \(n,k\) ，求若字符集无限的话，有多少不同的 \(f\) 数组满足至少有一个长度为 \(n\) 的串的 \(f\) 数组是它，且对于每个 \(i\in [1,n]\)，有 \(0\leq f[i]\leq k\)。

答案对 \(10^9+7\) 取模。

数据范围

对于 \(30\%\)，\(1\leq n\leq 5,0\leq k\leq 5\)

对于 \(50\%\)，\(0\leq k\leq 7\)

另有 \(20\%\)，\(k=1\)

对于 \(100\%\)，\(1\leq n\leq 10^7,0\leq k\leq 10\)

solution

枚举长度从 1 到 n 递推方案数

f 数组等价于kmp算法中的next数组，匹配失败就会从 i 跳到 next[i]

题目中只要方案数即可，但为了保证f数组的正确性（f只能为最大值），还是要弄出每个位置的字符的一种方案

dp[i][j]表示前 i 位且 f[i] = j 的方案数，j 的范围为0——k，dp[i][j]若能转移到dp[i+1][p]需要满足条件：A.第 i + 1 位的字符与第 p 位相同，B.从 i 开始按照kmp流程匹配，第一个成功的位置为 p

按照上述方法转移即可

当 len < k 时每次转移不同，但事实上为了转移的正确性要暴力做到k + 1

暴力处理出每一种方案（每个位置的字符也要求出）有3700种

len > k + 1 时，因为只能和前 k 位匹配，而前 k 位已经固定，所以每次转移相同，写成矩阵转的形式快速幂加速转移

暴力枚举出翻案书3700种，矩乘复杂度k³log(n)，总复杂度O(3700*k³log(n))