Deltix Round, Summer 2021
CF1556F Sports Betting
可以对每个人分开考虑，最终答案就是总和。状压dp，\(f_i\) 表示 \(x\) 赢了 \(i\) 里的所有人的概率。转移的时候可以枚举一个集合 \(j\)，表示新赢了这些人。但如果直接转移会出现重复，考虑容斥，计算不满足的概率。这时候只要让 \(j,i\) 集合之间打架的时候全让 \(j\) 里的人赢就可以了。因为这样划分后，每次转移里 \(x\) 能打败的集合是唯一确定的，所以不会重复。
然后又发现，每个人的转移都有大量的重叠部分，那么继续优化。把每次对战看成一条图上的边。设 \(f_i\) 表示集合 \(i\) 构成一整个SCC的概率，还是要用容斥转移。如果不构成强连通，则有多个SCC，并且由于原图是竞赛图（完全有向图），缩点后SCC构成一条链，那么只需要枚举第一个SCC的状态，就可以做到不重不漏的。这样省去了最外重的循环，可以在 \(3^n\) 时间内求解。最后 \(f_i\) 对答案的贡献容易推导
注意，如果转移的时候不用递推而是暴力，就会多出一个 \(n\)。
CF1556G Gates to Another World
暴力地进行连边，复杂度为 \(O(2^nn)\)。根据题意不难发现这 \(2^n\) 个点可以分为 \(m\) 段，应该是想让我们一段一段处理，那么直接上线段树。原题“只有一个二进制位不同”相当于将线段树上某个节点的左右子树重叠位置连边。
因为共有 \(2^n\) 个点，所以线段树上每个节点对应的区间长度也是 \(2^k\)，这个性质可以保证每个节点对应区间内的点构成联通图（如果这些点都没被删），所以每个节点内不用考虑。
每条线段对应 \(n\) 个节点，那么树上有用的节点为 \(nm\)。考虑在这些节点之间使用并查集连边。根据上面所说的“左右子树重叠”操作，不难发现每个点最多跟 \(n\) 个点连边，所以边数为 \(n^2m\)。
具体操作的时候，先把询问倒叙，删除变成插入。然后可以先把整棵树建出来，存下每个时刻要加的边。应该也可以一边处理询问一边动态在线段树上修改连边（像普通线段树打标记那样）。复杂度 \(n^2m \alpha\)，后面那个是并查集
