题解 LOJ #3045. 「ZJOI2019」开关
方便起见，先令所有 \(p_i\leftarrow \frac{p_i}{\sum p}\)。
一上来会想到的应该是如下的两个柿子：
\[\left\{
\begin{aligned}
\sinh(x)&=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\
\cosh(x)&=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots=\frac{e^x-e^{x}}{2}\\
\end{aligned}
\right.
\]
然后考虑设一个 \(f_n\)，表示经过 \(n\) 次之后变得合法的概率。不难得到：
\[f_n=n![x^n]\prod_{i}\frac{e^{p_ix}+(-1)^{s_i}e^{-p_ix}}{2}
\]
但是我们要求的是第一次合法的期望步数，于是再搞一个 \(g_n\) 表示经过 \(n\) 次之后不变的概率，这就是所有 \(s_i\) 全部等于 \(0\) 的情况，亦即
\[g_n=n![x^n]\prod_{i}\frac{e^{p_ix}+e^{-p_ix}}{2}
\]
考虑设 \(F,G\) 分别为其对应的 \(\rm OGF\)，不难得到最后的答案就是
\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{F(x)}{G(x)}|_{x=1}
\]
考虑我们其实是要把一个 \(\rm EGF\) 变成 \(\rm OGF\)，这启发我们使用组合 Laplace 变换：
\[\int_0^\infty F(xt)e^{-t}\mathrm dt=\sum_{i\geq 0}x^ii![x^i]F(x)
\]
于是考虑把那个很丑陋的 \(\sinh\) 和 \(\cosh\) 通过背包化简为如下的形式：
\[\hat F(x)=\prod_{i}\frac{e^{p_ix}+(-1)^{s_i}e^{-p_ix}}{2}=\sum_ic_ie^{ix}
\]
这个形式是比较简洁的，直接带入变换即有：
\[\begin{aligned}
F(x)&=\int_0^\infty \hat F(xt)e^{-t}\mathrm dt\\
&=\int_0^\infty \sum_i c_ie^{-(1-ix)t}\mathrm dt\\
&=\sum_i c_i\int_0^\infty e^{-(1-ix)t}\mathrm dt\\
&=\sum_i \frac{c_i}{1-ix}\\
\end{aligned}
\]
考虑当 \(i=1\) 的时候这个东西没有定义，我们给 \(F(x)\) 和 \(G(x)\) 上下同时乘上一个 \(1-x\)，然后大力化简即有：
\[\left\{
\begin{aligned}
F(1)&=c_{1}\\
F'(1)&=\sum_{i\neq 1}\frac{c_i}{ix-1}
\end{aligned}
\right.
\]
背包预处理系数，然后大力计算即可。复杂度 \(\mathcal O(n\sum p)\)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
const ll mod = 998244353;
const ll inv2 = (mod + 1) / 2;
const int maxn = 105;
const int maxm = 5E+4 + 5;
inline ll fsp(ll a, ll b, ll res = 1) {
for(a %= mod; b; a = a * a % mod, b >>= 1)
b & 1 && (res = res * a % mod); return res;
}
inline ll sgn(int x) { return x & 1 ? -1 : 1; }
int n, m, s[maxn], p[maxn];
ll dp[maxn][maxm << 1];
inline std::pair<ll, ll> getval() {
memset(dp, 0, sizeof dp);
dp[0][m] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
for(int j = -m; j <= m; ++j) {
if(j - p[i] >= -m) (dp[i][j + m] += inv2 * dp[i - 1][j - p[i] + m]) %= mod;
if(j + p[i] <= m) (dp[i][j + m] += sgn(s[i]) * inv2 * dp[i - 1][j + p[i] + m]) %= mod;
}
}
ll f = dp[n][m + m], df = 0, inv = fsp(m, mod - 2);
for(int i = -m; i < m; ++i)
(df += fsp(i * inv - 1, mod - 2, dp[n][i + m])) %= mod;
return std::make_pair(f, df);
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &s[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &p[i]), m += p[i];
auto f = getval();
for(int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = 0;
auto g = getval();
ll ans = (f.second * g.first - f.first * g.second) % mod;
ans = fsp(g.first * g.first, mod - 2, ans) % mod;
printf("%lld\n", (ans + mod) % mod);
}
