概率和期望

一些基础概念：

样本点（sample point）是一个随机实验的一个可能结果，所有的样本点构成样本空间。

事件是样本空间的一个子集，如果一个事件是空集则称为不可能事件；如果是全集 \(\Omega\) 那么就是必然事件。如果一个事件只包含一个样本点则称为基础事件，所有事件都可以划分成基础事件的不交并。

概率是一个事件的测度在样本空间上的测度的占比。在离散概率中，这就是事件包含的样本点个数除以总样本点个数。、

假设我们有一个函数 \(X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\) 将每一个事件映射到一个实数，那么我们就称 \(X(\omega)\) 是一个随机变量，也简写成 \(X\)。

对于基础事件全体，我们可以求得一个随机变量在其上的加权平均值，其中权值就是基础事件的发生概率，这被称作是随机变量 \(X\) 的期望 \(\mathbb{E}[X]\)。在离散概率学，这就是

\[\mathbb{E}[X]=\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\omega) \]

条件概率：已知事件 \(B\) 发生，事件 \(A\) 发生的概率被称作 \(B\) 条件下 \(A\) 的条件概率

特别地，如果 \(A\) 和 \(B\) 相对独立，那么 \(P(A|B)=P(A)\)

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一些常用的柿子：

贝叶斯公式：

\[P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \]

联合分布概率公式：

\[P((AB)|C)=\frac{P(ABC)}{P(C)}=\frac{P(ABC)}{P(BC)}\frac{P(BC)}{P(C)}=P(A|(BC))P(B|C) \]

以及反着用的：

\[P(A|(BC))=\frac{P((AB)|C)}{P(B|C)} \]

min-max 反演的期望形式：

\[\mathbb{E}[\max S]=\sum_{\emptyset\neq T\in S}(-1)^{|S|-|T|}\mathbb{E}[\min T] \]

kth min-max：

\[\mathbb{E}[k\ \text{th}\max S]=\sum_{\emptyset\neq T \in S}{(-1)}^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\mathbb{E}[\min T] \]

如果正着做需要考虑条件概率，那么应当考虑反着做（yny 血泪教训）