微分有限函数

前两天看到 EI 的博客里面有这个，于是去翻了一下论文

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一些定义：

齐次线性微分方程

如果一个函数 \(y(x)\) 满足：

\[a_0y+a_1y'+a_2y''+\cdots+a_ny^{(n)}=C(x) \]

则称其满足一个线性微分方程。特别地，如果 \(C(x)=0\)，则称其满足一个齐次线性微分方程（linear homogeneous differential equation）。

根据所有的系数 \(\{a_n\}\) 是否为常数还可以进一步划分为常系数齐次线性微分方程和变系数齐次线性微分方程。

P-递归数列

如果一个数列 \(a_n\) 满足

\(p_0(n)a_n+p_1(n)a_{n-1}+p_2(n)a_{n-2}+\cdots+p_d(n)a_{n-d}=0\)

则称其为 P-递归（P-recursive）的。其中所有的 \(p_i(x)\) 均为多项式。

微分有限

如果一个函数 \(f(x)\)（不一定是多项式）满足一个齐次线性微分方程，则称其为微分有限（D-finite）的。

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关于微分有限函数我们有下述定理：

定理一 记函数 \(f(x)\) 的级数展开为 \(f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n\)，那么 \(f(x)\) 是微分有限的当且仅当其系数 \(\{a_n\}\) 是 P-递归的。
定理二 如果 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都是微分有限的，那么 \(\alpha f(x)+\beta g(x),f(x)g(x)\) 也是微分有限的。
定理三 如果 \(f(x)\) 微分有限，\(g(x)\) 是代数函数（即只包含加减乘除乘方开方的函数），那么 \(f(g(x))\) 是微分有限的。

以及一些简单的例子：

幂函数都是微分有限的：

\[y=x^r\Rightarrow ry-xy'=0 \]

指数函数是微分有限的：

\[y=a^x\Rightarrow y\ln a-y'=0 \]

广义超几何函数是微分有限的：

不会证，告辞。

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以及在信息学竞赛中的应用：所有化简为多项式的函数都可以使用整式递推的方式快速求出某一项的系数。同时可以彰显人类智慧