LCT

LCT（Link-Cut Tree），是一类最常见的用来解决动态树问题的工具。所谓动态树问题，大概就是给定一棵树，对其形态进行改变，并进行查询操作。LCT 通过将树划分成不同的链，并使用 Splay 来维护每一条链来解决这一类问题。我们通过一道板子题来说明。

例题 动态树问题 给出一棵树，每个节点有初始权值。进行四种操作：

• 查询 x 到 y 路径上的异或和，保证连通
• 连接 x 和 y，如果已经联通则忽略
• 断开 x 和 y 中间的边，保证相邻，不保证存在
• 将点 x 上的权值改成 y

分析 这是非常经典的 LCT 模板题。LCT将树划分成为不相交的链并使用 Splay 对每条链进行维护。最重要的是换根操作和 Access 操作。具体来说：我们按照每个节点的深度作为权值来构建 Splay。对于一棵 Splay 树中的节点：如果它是根节点，它的父亲就是原树上所在链的最上面一个节点的父亲（链父亲）；否则它的父亲就是 Splay 中的父亲。如果它在 Splay 树上没有儿子，它的儿子就是 0。可能有多个不同节点的父亲是同一个，但是每个父亲的儿子（如果存在）只有一个，这被形象地称为，认父不认子。

Access 操作中，每次传入一个节点 u，将 u 和根节点放到一条链当中。而对于不在最短路径上的节点都不属于这条链。具体来说：从 u 开始，先把所有换很的标记从根节点到 u 全部下传（注意顺序），然后将 u splay 到 Splay 树的根节点，并断开 u 的右儿子，那么此时就没有比它更深的节点和它在同一条链上了。然后把再考虑它的父亲（因为是根节点所以是链父亲），把父亲 splay 到对应的 Splay 树的根节点，然后把父亲的右儿子置为它，也即把它所在的链和父亲所在的链合并起来。再对父亲进行同样的操作，直到到达根节点。

说了那么多，代码其实很简单。

void Access(int u) {
	int pos = u, son = 0;
	while(pos) {
		Splay(pos), s[pos].ch[1] = son;
		PushUp(pos), pos = s[son = pos].fa;
	}
}

然后就是换根操作。注意到换根对相对位置的直接影响只有 u 到根节点的链，而其他链的 Splay 树都是不变的。所以用区间翻转的操作，直接将 u 到根节点的路径打通，然后把 u splay 到这条链的根，那么此时 u 一定不存在右儿子（因为它就是最深的了），那么在 u 上打一个交换左右子树的标记，那么 u 就没有了左子树，成为了这条链最浅的，那么它就成为了根。

这个代码只有一行

inline void MakeRoot(int u) { Access(u), Splay(u), s[u].tag ^= 1, PushDown(u); }

那么所有操作都很显然了，但是还是要注意普通 Splay 和 LCT 上 Splay 的不同，重点在于根节点的父亲不再没有意义，所以需要额外考察一个节点是不是根。

#include<algorithm>
#include<cstdio>

const int maxn = 1E+5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
struct SplayNode {
	int Xor, val, tag;
	int fa, ch[2];
} s[maxn];

inline bool nRoot(int u) { return s[s[u].fa].ch[0] == u || s[s[u].fa].ch[1] == u; }
inline bool Which(int u) { return s[s[u].fa].ch[1] == u; }
inline void PushUp(int u) { s[u].Xor = s[s[u].ch[0]].Xor ^ s[s[u].ch[1]].Xor ^ s[u].val; }
inline void PushDown(int u) {
	if(s[u].tag) {
		s[s[u].ch[0]].tag ^= 1, s[s[u].ch[1]].tag ^= 1;
		std::swap(s[u].ch[0], s[u].ch[1]), s[u].tag = 0;
	}
}

void Rotate(int u) {
	bool Whi = Which(u), WhiFa = Which(s[u].fa);
	int fa = s[u].fa, grand = s[fa].fa, son = s[u].ch[Whi ^ 1];
	
	PushDown(fa), PushDown(u);
	
	if(nRoot(fa)) s[grand].ch[WhiFa] = u;
	if(son) s[son].fa = fa;
	s[u].fa = grand, s[fa].ch[Whi] = son;
	s[fa].fa = u, s[u].ch[Whi ^ 1] = fa;
	
	PushUp(fa), PushUp(u);
}

int top, sta[maxn];
void Splay(int u) {
	int pos = u; top = 0;
	while(sta[++top] = pos, nRoot(pos)) pos = s[pos].fa;
	while(top) PushDown(sta[top--]);
	
	while(nRoot(u)) {
		int fa = s[u].fa, grand = s[fa].fa;
		
		if(nRoot(fa)) Rotate(Which(u) ^ Which(fa) ? u : fa);
		Rotate(u);
	}
}

void Access(int u) {
	int pos = u, son = 0;
	while(pos) {
		Splay(pos), s[pos].ch[1] = son;
		PushUp(pos), pos = s[son = pos].fa;
	}
}

inline void MakeRoot(int u) { Access(u), Splay(u), s[u].tag ^= 1, PushDown(u); }
int FindRoot(int u) {
	Access(u), Splay(u);
	while(s[u].ch[0]) PushDown(u), u = s[u].ch[0];
	Splay(u);
	
	return u;
}

inline void Split(int u, int v) { MakeRoot(u), Access(v), Splay(v); }
inline void Link(int u, int v) {
	MakeRoot(u);
	if(FindRoot(v) != u)
		s[u].fa = v;
}
inline void Cut(int u, int v) {
	MakeRoot(u);
	if(FindRoot(v) == u && s[v].fa == u && !s[v].ch[0])
		s[v].fa = s[u].ch[1] = 0, PushUp(u);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d", &s[i].val);
	
	int opt, x, y;
	while(m --> 0) {
		scanf("%d%d%d", &opt, &x, &y);
		
		if(opt == 0) Split(x, y), printf("%d\n", s[y].Xor);
		if(opt == 1) Link(x, y);
		if(opt == 2) Cut(x, y);
		if(opt == 3) Splay(x), s[x].val = y, PushUp(x);
	}
}