欧拉路、欧拉回路

定义 给定一个连通图，如果存在图中一条路径，经过且恰好经过每条边一次，则称这条路径为这个图的欧拉路（Eulerian Path），这张图叫做一张欧拉图（Eulerian Graph）。特别地，如果这条路径是一个回路则称其为欧拉回路（Eulerian Circuit）。

那么根据上述定义，我们有下列欧拉图的判定定理。

定理 对于有向图 \(G = (V,E)\) 中的一个顶点 \(u\)，其入度 \(in(u)\) 定义为连向它的边的个数，出度 \(out(u)\)定义为从它连出的边的个数。如果图 \(G\) 满足

\[\forall u\in V,|in(u) - out(u)|\leq1， \sum_{u\in V}[|in(u)-out(u)|=1]\leq2 \]

则其上必然有一条欧拉路，特别地，如果条件二中的 2 改为 0，则其上必然有一条欧拉回路。

而对于无向图，我们有类似的判定定理。我们记无向图 \(G\) 的一个顶点 \(u\) 的度 \(deg(u)\) 为它所伸出的边的个数。则如果无向图满足：

\[\sum_{u\in V} deg(u) \bmod 2\leq2 \]

则其上必然有一条欧拉路，而如果条件中的 2 改为 0，则必然有一条欧拉回路。