DFS 树

声明 本文部分内容来自 Codeforces 上的一篇博客，侵删。

DFS 是一种常见的图遍历方法。

考虑 无向图 的遍历过程：我们访问一个节点，遍历它的所有相邻节点，如果没有访问则去访问。不难发现每个节点只会被访问一次，也即这些节点和所有访问到的边可以构成一棵树，我们称这棵树为 DFS 树。访问过的边称为生成边（span edge），没有访问的称为后向边（back edge）。

仔细观察后向边，我们可以发现一些性质：

• 每条后向边只会连接祖先和子孙，不会有兄弟相连。

这个很好证明，如果有一条边连接了兄弟，那么在 DFS 的过程中一定会先访问到其中一个兄弟，然后通过这条边访问另一个兄弟，而不是退回祖先处再去访问。也即这条边一定是生成边。

• 每条后向边对应一个环，每个环也对应一条后向边。

证明也是很显然的，通过观察 DFS 树的样子即可完成。

有了这些性质 DFS 树可以干什么呢？最经典的应用就是 Tarjan 的使用 low 数组寻找割点的算法了。

我们考虑什么情况下 非根 节点 \(u\) 是割点：

• 当且仅当存在一个儿子，使得儿子节点的子树中不存在任何一条后向边连接 \(u\) 的祖先，或者说没有一条后向边跨过（passes over）\(u\)。

证明是显然的，不再赘述。

具体实现中，我们令 \(dfn[u]\) 表示 \(u\) 是第 \(dfn[u]\) 个被访问到的，\(low[u]\) 为 DFS 树上 \(u\) 的儿子（包含 \(u\) 自己）可以访问到的所有节点中 \(dfn\) 最小的。那么对于节点 \(u\)，进行以下操作：

procedure DFS(u)
    ind <- ind + 1
    dfn[u] <- low[u] <- ind

    childnum <- 0
    for v 可以被 u 访问
        if 访问过 v then low[u] <- min(low[u], dfn[v])
        else
            DFS(v)
            low[u] <- min(low[u], low[v])
            if low[v] = dfn[u] then childnum <- childnum + 1
            end if
        end if
    end for
    
    if childnum >= 1
        u 为割点
    end if
end procedure

注意 我们不只访问儿子节点，所以不需要特判父亲

而对于根节点，我们需要其有两个以上儿子。在具体实现中可以令 \(childnum = -1\)

给出 C++ 实现

洛谷板子题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2E+4 + 5;
const int maxm = 1E+5 + 5;

int n, m, root;
int tot, first[maxn];
int ind, cnt, p[maxn];
int dfn[maxn], low[maxn];
struct Edge {
	int to, next;
} e[maxm * 2];

inline void Add(int x, int y)
{
	e[++tot] = { y, first[x] };
	first[x] = tot;
}

void DFS(int u)
{
	dfn[u] = low[u] = ++ind;
	
	int childnum = 0;
	if(u == root) childnum = -1;
	
	for(int i = first[u]; i; i = e[i].next) {
		int v = e[i].to;
		
		if(!dfn[v]) {
			DFS(v), low[u] = min(low[u], low[v]);
			if(low[v] == dfn[u]) ++childnum;
		}
		else low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
	
	if(childnum >= 1) p[++cnt] = u;
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		int x, y;
		
		scanf("%d%d", &x, &y);
		Add(x, y), Add(y, x);
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		if(!dfn[i]) root = i, DFS(i);
	
	sort(p + 1, p + cnt + 1);
	
	printf("%d\n", cnt);
	for(int i = 1; i <= cnt; ++i)
		printf("%d\n", p[i]);
}

而事实上，DFS 树还可以处理如无向图改成有向图，二分图划分之类的东西，特别是处理仙人掌时更是得心应手。