大步小步算法

考虑这样一个问题：

题目 给定正整数 \(a,b,p\) 求满足 \(a^x\equiv b\pmod p\) 的所有正整数解 \(x\)，保证 \(p\) 是素数。

分析 首先由费马小定理，\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)，也就是说暴力算法只需要枚举到 \(p-1\) 即可，我们考虑优化。

我们考虑只暴力求解 \(a^x\bmod p\) 的前 \(m\) 个值，也即 \(a^1\bmod p,a^2\bmod p,\cdots,a^m\bmod p\)。那么现在来考虑后面的数，将其 \(m\) 个一组分组（就是 \(m+1,m+2,\cdots,2m\) 一组，\(2m+1,2m+2,\cdots,3m\) 一组）。对于每一组这样考虑：如果

\[a^{km+t}\equiv b\pmod p \]

这等价于

\[a^t\equiv b\cdot (a^{km})^{-1}\equiv b\cdot (a^{-m})^k\pmod p \]

也就是说，我们在枚举每一个 \(k\) 的时候可以直接将 \(b\cdot (a^{-m})^k \bmod p\) 与每一个 \(a^i\) 对比，看是否有相同的，这可以用 \(map\) 实现。

这个算法被称为大步小步（Baby Step Giant Step, BSGS, 拔山盖世）算法。它的复杂度为 \(O((m+\frac n m)\log m)\)，当 \(m=\sqrt{n}\) 时最优，为 \(O(\sqrt{n}\log n)\)

ll BSGS(ll a, ll b, ll mod)
{
	map<ll, ll> Map;
	
	ll m = sqrt(mod + 0.5), tmp = 1;
	for(int i = 0; i < m; ++i) {
		if(!Map.count(tmp)) Map[tmp] = i;
		tmp = tmp * a % mod;
	}
	
	ll inv = qPow(tmp, mod - 2, mod);
	for(int i = 0; i < m; ++i) {
		if(Map.count(b)) return i * m + Map[b];
		b = b * inv % mod;
	}
	
	return -1;
}